必修四-三角函数单元练习含答案

单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设k∈Z，下列终边相同的角是()A．(2k＋1)·180°与(4k±1)·180°B．k·90°与k·180°＋90°C．k·180°＋30°与k·360°±30°D．k·180°＋60°与k·60°解析：令k＝2n，则(2k＋1)·180°＝(4n＋1)·180°；令k＝2n－1，则(2k＋1)·180°＝(4n－1)·180°(n∈Z)，故应选A.答案：A2．tan300°＋cot405°的值为()A．1＋3B．1－3C．－1－3D．－1＋3解析：tan300°＋cot405°＝tan[360°＋(－60°)]＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－3.答案：B3．函数y＝sin2x＋π3的周期为()A．πB．2πC.π2D.3π2解析：∵y＝sin2x＋π3的周期T＝π，y＝sin2x＋π3的周期是y＝sin2x＋π3的12，∴周期为π2.答案：C4．函数y＝sin|x|的图象是()解析：当x≥0时，y＝sinx，当x0时，由函数为偶函数，图象关于y轴对称即得．答案：B5．函数f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为()A.kπ－π2，kπ＋π2，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.kπ－3π4，kπ＋π4，k∈ZD.kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z解析：令x＋π4＝t，则t单调递增．由复合函数单调性知，只有tant单调递增才能使原函数单调递增，∴x＋π4∈kπ－π2，kπ＋π2，(k∈Z)∴x∈kπ－3π4，kπ＋π4(k∈Z)．答案：C6．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f(23π6)＝()A.12B.32C．0D．－12解析：本题考查递归运算，诱导公式．f(236π)＝f(176π)＋sin176π＝f(116π)＋sin116π＋sin176π＝f(56π)＋sin56π＋sin116π＋sin176π＝0＋12－12＋12＝12.答案：A7．若tan2α－sin2α＝tanα·sinα，则α的取值范围是()A．2kπ－π2α2kπ＋π2(k∈Z)B．kπαkπ＋π2(k∈Z)C．2kπ－π2α2kπ＋π2，或α＝2kπ＋π(k∈Z)D．2kπ＋π2α2kπ＋3π2，或α＝2kπ(k∈Z)解析：因为tan2α－sin2α＝sin2α1cos2α－1＝sin2α·1－cos2αcos2α＝sin2αtan2α＝|sinα·tanα|＝sinα·tanα，所以sinα·tanα≥0，所以2kπ－π2α2kπ＋π2(k∈Z)，或α＝2kπ＋π(k∈Z)．答案：C8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，y＝f(x)的部分图象如图，则f(π24)＝()A．2＋3B.3C.33D．2－3解析：由图象可知：T＝2(3π8－π8)＝π2，∴ω＝2，∴2×π8＋φ＝kπ＋π2.又|φ|π2，∴φ＝π4.又f(0)＝1，∴Atanπ4＝1，得A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4)，∴f(π24)＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝3，故选B.答案：B9．下列函数中，在区间[0，π2]上单调递增，又是以π为周期的函数是()A．y＝|cosx|(x∈R)B．y＝|sinx|(x∈R)C．y＝cos2x(x∈R)D．y＝esin2x(x∈R)解析：y＝|cosx|(x∈R)的周期为π，但在[0，π2]上为减函数；y＝|sinx|(x∈R)的周期为π，在[0，π2]上为增函数；y＝cos2x在[0，π2]上为减函数．y＝esin2x在[0，π2]上先增后减．答案：B10．若角α是三角形的一个内角，且sinα＝13，则α等于()A．π－arccos223B．arcsin13C．arcsin13或π－arcsin13D．arccos223或π－arccos223解析：sinα＝130，α为三角形内角α∈(0，π)，当α为锐角时α＝arcsin13，当α为钝角时α＝π－arcsin13.答案：C11．(2014·新课标Ⅰ理，6)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()解析：本题考查三角函数的定义，不妨以单位圆的圆心为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则f(x)＝OMsinα，可以得到当α＝0，π时，f(x)＝0，当α＝π2时，OM＝0，而且当α＝π4，3π4时函数取得最大值12，综合考查可知，选B，本题也可以运用函数的单调性排除法求解．答案：B12．关于函数f(x)＝sin2x－(23)|x|＋12有下面四个结论，其中正确结论的个数为()①f(x)是奇函数；②当x2003时，f(x)12恒成立；③f(x)的最大值是32；④f(x)的最小值是－12A．1个B．2个C．3个D．4个解析：f(x)＝sin2x－(23)|x|＋12，显然f(x)为偶函数，结论①错；对于结论②，当x＝1000π时，x2003，sin21000π＝0.所以f(1000π)＝12－(23)|1000π|12.所以结论②错；因为12≤sin2x＋12≤32，所以sin2x＋12－(23)|x|32，结论③错；f(x)＝sin2x－(23)|x|＋12中，sin2x≥0，－(23)|x|≥－1，所以f(x)≥－12，结论④正确．答案：A二、填空题(每小题4分，共16分)13．函数y＝25－x2＋log3sin(π－x)的定义域为__________．解析：∵y＝25－x2＋log3sin(π－x)＝25－x2＋log3sinx∴要使函数有意义，则25－x2≥0，sinx0，∴－5≤x≤5，2kπx2kπ＋πk∈Z.∴－5≤x－π或0xπ.答案：[－5，－π)∪(0，π)14．已知函数f(x)＝12sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝π12对称，则a的值为________．解析：因为f(x)的图象关于直线x＝π12对称，所以f(0)＝f(π6)，即12sin(2×0)＋acos(2×0)＝12sin(2×π6)＋acos(2×π6)．所以a＝34＋12a.所以a＝32.答案：3215．若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间(π6，π2)是减函数，则a的取值范围是________．解析：本题考查了二倍角公式，正弦函数的值域、二次函数的单调性以及等价转化的思想．f(x)＝－2(sinx)2＋asinx－1，设sinx＝t∈(12，1)，所以y＝－2t2＋at－1，它的对称轴为t＝a4，要使得函数在(12，1)上是减函数，则有a4≤12，解得a≤2，解决本题忽视了二次函数的开口方向和对称轴对单调性的影响，导致出错．答案：(－∞，2]16．给出下列命题：(1)若α，β均为第一象限角，且αβ，则sinαsinβ；(2)若函数y＝2cos(π3－ax)的最小正周期是4π，则a＝12；(3)函数y＝sin2x－sinxsinx－1是奇函数；(4)函数y＝sin(x＋π4)在[－π2，π2]上是增函数，其中错误命题的序号是________．解析：(1)若取α＝30°，β＝－300°，sin30°＝12，sin(－300°)＝sin60°＝32，显然sinαsinβ不成立；(2)4π＝2π|a|，∴a＝±12；(3)y＝sin2x－sinxsinx－1定义域为{x|x≠2kπ＋π2，k∈Z}，不关于原点对称，因此是非奇非偶函数；(4)当x∈[－π2，π2]时，x＋π4∈[－π4，34π]，y＝sin(x＋π4)在此区间上不单调．答案：(1)(2)(3)(4)三、解答题(共74分)17．(12分)若集合M＝θsinθ≥12，0≤θ≤π，N＝θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.解：解法1：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，作出集合N和集合M，然后求M∩N.首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y＝12.如图．结合图象得集合M，N分别为M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.得M∩N＝θπ3≤θ≤56π.解法2：如图所示，由单位圆中5π6的三角函数线知M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.由此可得M∩N＝θπ3≤θ≤5π6.18．(12分)已知函数f(x)＝2(2cos2x－1)＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(π3)＝2(2cos2π3－1)＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R，因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6，当cosx＝23时，f(x)取最小值－73.19．(12分)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－(3－1)x＋m＝0的两根．(1)求m的值；(2)求sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ的值．解：(1)据根与系数的关系得，sinθ＋cosθ＝3－1①sinθ·cosθ＝m②由①式两边平方得，1＋2sinθcosθ＝4－23，将②代入得m＝32－3，由Δ＝(3－1)2－4m≥0得，m≤1－32，∴m＝32－3.(2)sinθ1－cotθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝cos2θ－sin2θcosθ－sinθ＝cosθ＋sinθ＝3－1.20.(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0，|φ|π，b为常数)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调区间．解：(1)A＝12(ymax－ymin)＝32，T2＝π|ω|＝π2－(－π3)＝5π6，∵ω0，∴ω＝65.又b＝12(ymax＋ymin)＝32，∴y＝32sin(65x＋φ)＋32.将点(π2，0)代入，得φ＝2kπ－11π10(k∈Z)．又|φ|π，则k＝1，φ＝910π.∴y＝32sin(65x＋9π10)＋32.(2)令2kπ－π2≤65x＋9π10≤2kπ＋π2，∴5kπ3－7π6≤x≤5kπ3－π3(k∈Z)；令2kπ＋π2≤65x＋9π10≤2kπ＋3π2，∴5kπ3－π3≤x≤5kπ3＋π2(k∈Z)，∴5kπ3－7π6，5kπ3－π3(k∈Z)是单调递增区间，5kπ3－π3，5kπ3＋π2(k∈Z)是单调递减区间．21．(13分)已知函数f(x)＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a0，求a，b的值．解：令t＝sinx，则g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－t＋a22＋a24＋b＋1，且t∈[－1，1]，下面根据对称轴t0＝－a2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．(1)当－a2≤－1，即a≥2时，ymax＝g－1＝a＋b＝0，ymin＝g1＝－a＋b＝－4，解之得a＝2，b＝－2.(2)当－1－a20时，即0a2时，ymax＝g－a2＝a24＋b＋1＝0，ymin＝g1＝－a＋b＝－4，解之得a＝2，b＝－2或a＝－6，b＝－10，都不满足a的范围，舍去．综上(1)，(2)可知a＝2，b＝