向量共线条件和轴上向量

课时作业17向量共线的条件与轴上向量坐标运算时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．已知数轴上两点A，B的坐标分别是－4，－1，则AB与|AB→|分别是()A．－3,3B．3,3C．3，－3D．－6,6解析：AB＝－1－(－4)＝3，|AB→|＝3.答案：B2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA→＋PB→＋PC→＝0，若实数λ满足：AB→＋AC→＝λAP→，则λ的值为()A．2B.32C．3D．6解析：由PA→＋PB→＋PC→＝0知P为△ABC的重心，设BC中点为D，则AB→＋AC→＝2AD→，AP→＝23AD→，即2AD→＝23λAD→，∴λ＝3.答案：C3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c解析：如图，已知，BD→＝23BC→，∴AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.答案：A4．下列关系式中不正确的是()A.AB→＋BC→＋CD→＝AD→B．AB＋BC＋CD＝ADC.AB→－CB→＝AC→D．AB＋BA＝0解析：对平面上任意点A，B，C，总有AB→＋BC→＝AC→，但只有在A，B，C共线时，才有AB＋BC＝AC，但AB→＋BA→＝0与AB＋BA＝0总成立．答案：B5．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：BD→＝BC→＋CD→＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB→.又AB→，BD→有公共点，所以A，B，D三点共线．答案：A6．已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正数m，n，t，使mOA→＋nOB→＋tOC→＝0，则∠AOB，∠BOC，∠COA()A．都是钝角B．至少有两个钝角C．恰有两个钝角D．至多有两个钝角解析：∵mOA→＋nOB→＋tOC→＝0，∴OA→＝－(nmOB→＋tmOC→)，又m，n，t为正实数，由此知点O一定在△ABC内部，∴∠AOB，∠BOC，∠COA至少有两个钝角．答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知AC→＝35AB→，AC→＝λBC→，则λ的值为________．解析：∵AC→＝35AB→，∴BC→＝－25AB→又∵AC→＝λBC→，∴λ＝－32.答案：－328．在四边形ABCD中，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD的形状为________．解析：∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC→，∴AD→∥BC→.又∵AB→与CD→不平行，∴四边形ABCD为梯形．答案：梯形9．已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.解析：如图，∵MA→＋MB→＋MC→＝0，∴D是BC边的中点．∴点M是△ABC的重心．∴AD→＝32AM→.∴AB→＋AC→＝2AD→＝3AM→.∴m＝3.答案：3三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知两个非零向量e1，e2不共线，若AB→＝2e1＋3e2，BC→＝6e1＋23e2，CD→＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．解：∵AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6AB→.∴AD→∥AB→.又∵AD和AB有公共点A，∴A，B，D三点共线．11．如图所示，已知任意两个非零向量a，b，作OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由．解：如题图所示，利用向量加法的平行四边形法则，作出向量OA→，OB→，OC→.判定A，B，C三点共线，推导如下：因为AB→＝OB→－OA→＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，AC→＝OC→－OA→＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，故有AC→＝2AB→.因为AC→∥AB→，且有公共点A，所以A，B，C三点共线．12．如图所示，已知△OAB中，点C是以点A为中心的点B的对称点，点D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解：(1)依题意，A是BC的中点，∴2OA→＝OB→＋OC→，即OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝OC→－23OB→＝2a－b－23b＝2a－53b.(2)设OE→＝λOA→，则CE→＝OE→－OC→＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵CE→与DC→共线，∴存在实数k，使CE→＝kDC→，即(λ－2)a＋b＝k(2a－53b)，∴λ＝45.