初高中物理衔接—数学专题.word(教师版)

数学知识的准备一、乘法公式1、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab（2）完全平方公式222()2abaabb2222()222abcabcabacbc2、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab（2）立方差公式2233()()abaabbab（3）两数和立方公式33223()33abaababb（4）两数差立方公式33223()33abaababb对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．【课堂练习1】已知4abc，4abbcac，求222abc的值．解：2222()2()8abcabcabbcac．二、一元二次方程1、根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa．①（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca；（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．【课堂练习2】判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即4(1－a)＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根111xa，211xa；②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.2根与系数的关系（韦达定理）如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．【选用例题】已知方程2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．三、直角三角形1、弧度与角度的转换关系1度=π/180弧度(≈0.017453弧度)1弧度＝180°/π（≈57.3°）【课堂练习3】360°＝360×π/180＝2π弧度4π/3弧度＝4π/3×180°/π＝240°2、弧长与圆心角、半径的关系弧长rl为圆心角（弧度单位）周长rc23、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝c,BC＝a，AC＝b,1）、三边关系（勾股定理）：2）、锐角间的关系：∠+∠=90°3）、边角间的关系：sinA=；cosA=；tanA=；cotA=；sinB=；cosB=；tanB=；cotB=4、填表sincostancot300450226005、同角三角函数的基本关系式1cossin22cossintansincoscot6、正弦、余弦的诱导公式诱导公式一：cos)2sin(sin)2cos(cot)2(tan诱导公式二：cos)2sin(cos-)2sin(cot-)2(tan诱导公式三：sin（＋α）＝－sinαcos（＋α）＝－cosαtan（＋α）＝tanα诱导公式四：sin（－α）＝sinαcos（－α）＝－cosαtan（－α）＝－tanα诱导公式五(k∈Z)：sin（2k·＋α）＝sinαcos（2k·＋α）＝cosαtan（2k·＋α）＝tanα诱导公式六：sin（2－α）＝sin（－α）＝－sinαcos（2－α）＝cos（－α）＝cosαtan（2－α）＝tan（－α）＝－tanα【课堂练习4】（2009全国卷Ⅰ文）o585sin的值为(A)22(B)22(C)32(D)32解析：本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。2245sin)45180sin()225360sin(585sinoooooo，故选择A.【课堂练习5】（2010年全国理科）记cos(80)k,那么tan100A.21kkB.-21kkC.21kkD.-21kk命题意图：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.解析：222sin801cos801cos(80)1k,所以tan100tan802sin801.cos80kk故选择B7、三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心（如图7.1）。三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.图7.1图7.2垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图7.2）外心：过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心（如图7.3）。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图7.4）图7.3图7.4【选用例题2】已知ABC的三边长分别为,,BCaACbABc===，I为ABC的内心，且I在ABC的边BCACAB、、上的射影分别为D、E、F，求证：2bcaAEAF+-==.证明作ABC的内切圆，则DEF、、分别为内切圆在三边上的切点，,AEAFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF\=，同理，BD=BF，CD=CE.22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE\+-=+++--=+==即2bcaAEAF+-==.【选用例题3】若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。证明：如图，O为三角形ABC的重心和内心。连AO并延长交BC于D。O为三角形的内心，故AD平分BAC，ABBDACDC\=（角平分线性质定理）O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.1ABAC\=，即ABAC=.同理可得，AB=BC.ABC为等边三角形.四、函数及图像1、一次函数及图像：（1）若两个变量y,x间的关系式可以表示成ykxb（b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数。BACO一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),(bk,0)两点的一条直线.（2）当b=0时，称y是x的正比例函数。正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数.正比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线，是经过原点的一条直线。（3）一次函数的图象斜率①斜率的定义：平面直角坐标系中，已知两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，如果x1≠x2，则直线PQ的斜率是xyxxyyk1212．②几何意义：斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，③直线倾斜角与斜率的关系k=tan(≠900)001800◈为锐角时，k0;k越大,直线倾斜度越大◈为钝角时，k0；k越大,直线倾斜度越大◈=0°时，k=0；◈=90°时，k不存在。④记住下列三角函数值003004506009001200135015001800sin22costan33-2、二次函数（1）二次函数的一般表示方式：：2224()24bacbyaxbxcaxaa(0a)，对称轴是,2bxa顶点是24,)24bacbaa（－；（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：①函数2(0)yaxbxca的图象关于直线2bxa对称。②0a时，在对称轴（2bxa）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（2bxa）右侧；y的值随x值的增大而增大。当2bxa时，y取得最小值244acba③0a时，在对称轴（2bxa）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（2bxa）右侧；y的值随x值的增大而减少。当2bxa时，y取得最大值244acbaxyOx＝－2baA24(,)24bacbaa图2.2-3xyOx＝－2baA24(,)24bacbaa图2.2-4上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．【课堂练习6】求经过点)3,5(),0,2(BA两点直线的斜率和倾斜角。附录：高中物理中的数学公式1．正弦定理：2sinsinsinabcRABC.2．余弦定理：2222cosabcbcA；2222cosbcacaB；2222coscababC.3．面积定理：（1）111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.4．常用不等式：（1）,abR222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）,abR2abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).abcabcabc（4）bababa5．极值定理已知yx,都是正数，则有（1）如果积xy是定值p，那么当yx时和yx有最小值p2；（2）如果和yx是定值s，那么当yx时积xy有最大值241s.6．三角倒数关系：222cot1sin1cscsin1csc222tan1cos1seccos1sec7．和角与差角（和差化积）公式:sin()sincoscossin;cos()coscossinsin8．积化和差公式：sinsin21cossincoscos21coscoscoscos21sinsin9．平方正弦公式、平方余弦公式：22sin()sin()sinsin