高中数学必修一：1.1.3《集合的基本运算》(新人教版A)

§1.3集合的基本运算知识难点回顾元素与集合关系：属于；不属于a{a，b}；集合与集合关系：包含；真包含；相等{a}{a，b}；子集和真子集：能判断是真子集或着两集合相等的,我们要填真包含或者相等空集是任何非空集合的真子集,是任何集合的子集课题引入•我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？•考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；（2）A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}。并集•一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（unionset)，记作A∪B（读作“A并B”）即A∪B={x|x∈A，或x∈B}。可用Venn图1.1-2表示：BAA∪B例题1•设A={4，5，9，7}，B={3，5，6，8}，求A∪B。解：A∪B={3，4，5，6，7，8，9}思考：为什么A∪B中元素5只出现一次，为什么不能A∪B={3，4，5，5，6，7，8，9}？例题2•设集合A={x|-2x3},集合B={x|1x4},求A∪B。解：A∪B={x|-2x3}∪{x|1x4}={x|-2x4}。我们还可以在数轴上表示例2中的并集A∪B，如图1.1-3。x-24321-10思考1下列关系式成立吗？（1）A∪A=A；（2）A∪=A.适度加强：A={1，2，3}，B={2，4，3，5}，C={1，3，6}，求A∪B∪C解：先求A∪B={1，2，3}∪{2，4，3，5}={1，2，3，4，5}再求A∪B∪C={1，2，3，4，5}∪{1，3，6}={1，2，3，4，5，6}思考2•在学习了并集之后，我们知道两集合的并集包含了两集合的所有元素。那么我们能否找到找出某两集合中相同的元素组成一个集合？是否对任意两集合我们都能找到相同的元素？•考察下面的问题，找出由集合A，B与集合C的共同元素所组成的集合？（1）A={2，5，8，10}，B={3，5，8，12}，C={3，7}；A和B中相同的元素组成的集合为{5，8}A和C中相同的元素不存在B和C中相同的元素组成的集合为{3}交集(2)A={a,b,c,d},B={a,c,d,e},C={a，ｃ,d},请问,集合C中的元素与集合A,集合B有什么关系?答:通过观察我们可以发现集合C是由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合.一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A,B的交集(intersectionset),记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈Ａ，且x∈B}.Veen图表示交集例3•A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学},B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B.解:A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.所以,A∩B={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.例题4设平面内直线l上的点的集合为L,直线p上的点的集合为P,试用集合的运算表示l,p的位置关系.解:平面两直线的位置关系有三种:相交:两直线有且只有一个交点.平行:两直线没有交点.重合两直线相交只有一个交点既L∩P为只有一个元素的集合.设交点为M,则L∩P={M}M两直线平行没有交点即L和P两集合没有共同元素,则L∩P=lp两直线重合就是说直线l的所有点都在直线p上，直线p的所有点也在直线l上,可以知道L包含P,P也包含L,那么我们知道L=P,也就是L∩P=Lpl思考3•下列关系式成立吗?(1)A∩A=A;(2)A∩=A.适度加强题例：集合A={1,3,5,6,8},集合B={x|1x7},集合C={x|5x10且x∈Z},求(A∩B)∪C.解:(A∩B)∪C={1,3,5,6,7,8,9}思考4•请你分别求出出方程的自然数解,有理数解和实数解.解:我们发现在对于解的范围不同,解也不同.自然数解中只有1是该方程的解即{x∈N|}={1}有理数解集{1,-2}实数解集2(1)(2)(5)0xxx-+-=2(1)(2)(5)0xxx-+-={1,2,5,5}研究与发现在思考过上面的问题之后我们发现,在不同范围研究同一个问题时,出现的结果也有可能不同.而我们从小到大对数学的学习过程中,我们对数的研究范围也逐步地由自然数扩展到了整数,再到有理数,引进无理数之后再研究到了实数的阶段.在我们学习了集合之后我们发现:我们所学的范围都可以用集合来表示N;Z;Q;R；而且后一个集合中都含有前一个集合的所有元素。思考：那么当我们想在某个集合范围内研究问题的时候我们能否先规定出这个集合？补集•一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universeset)，通常记作U.•对于一个集合A,由全集U中属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集,记作,即UAðUA={|,}xxUxA且ð蜗补集Venn图UA例5•设U={x|x是小于10的自然数},A={1,3,5,7},B={3,4,5,6},求,.解:根据题意可知,U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},UAðUBðUA={0,2,4,6,8,9},ðUA={0,1,2,7,8,9}ðÞ例6设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B是{x|x是钝角三角形}.求A∩B,解:根据三角形的分类可知(知识回顾:⑴锐角三角形:三个角都为锐角的三角形(2)直角三角形(3)钝角三角形:有一个角为钝角的三角形.)A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},U()ABÈðA,B(){|UABxx是直角三角形}.ð练习•解:{1234567}{245}.UUUUABAB已知全集，，，，，，，，，，B={1，3，5，7}，求A（），（）（）痧?{245}{246}{24}UAB（），，，，，ðUU{1367}{246}{6}AB（）（），，，，，痧阅读与思考:集合中元素的个数•在我们研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集,用card来表示有限集合A中的元素的个数.例如,A={1,2,3,5},则card(A)=4即如果集合A中存在4个元素,那我们就可以写card(A)=4.一般地,对于任意两个集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).思考5•有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合,如A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…},我们无法数出集合中元素的个数,但可以比较这两个集合中元素个数的多少.请问:你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?课后作业•P14•习题1.1A组T9;10习题1.1B组T3;4轻松一笑•上课睡觉某生上课时睡觉，被老师发现。老师：你为什么在上课时睡觉?某生：我没睡觉哇！老师：那你为什么闭上眼睛？某生：我在闭目沉思！老师：那你为什么直点头？某生：您刚才讲得很有道理！老师：那你为什么直流口水？某生：老师您说得津津有味啊！