34基本不等式(习题课)

3.4基本不等式习题课【基础训练】1.下列函数中，最小值为4的是________.①②③④xxxy0sin4sin-xxeey4103loglog3xxyxxxy4③2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______.[9,+∞)解：ab=a+b+332ab032abab)(13舍去或abab9ab3.如果log3m+log3n≥4,那么m+n的最小值为_______.18解：由题意log3mn≥4从而mn≥81188122mnnm4.已知，则的最小值_______.0,0yx)41)((yxyx9解：942545xyyx原式例1：已知，,求x+y的最小值。0,0yx152yx取等条件不同102xy1042xyyx误解：由得而xyyxyx102522152【典例解析】题型一：利用不等式求最值正解：当且仅当时取等号yxxy525522yxxy1027yxxy5227)52)((1)(yxyxyx变式1：x0,y0且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法一：由题意得2x+8y=xy)82)((xyyxyx则1082xyyx1816210182xy0,0yx例2：已知x＞1，求x＋的最小值以及取得最小值时x的值。11x当且仅当x－1＝时取“＝”号。于是x＝2或者x＝0（舍去）11x构造积为定值解：∵x＞1∴x－1＞0∴x＋＝（x－1）＋＋1)1(1x11x311112xx变式1：x0,y0且2x-8y-xy=0,求x+y的最小值。解法二：由题意得8082xyxxy82xxxyx则816)8(2xxx181621010816)8(xx变式2：设函数，则函数f(x)的最大值为_____)0(112)(xxxxf解：,22)1()2(,0xxx,2212xx.122112)(xxxf时取等号。即当且仅当2212xxx负变正题型二：利用不等式解应用题例3：某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？（）解：（1）xxxy)2642(5.0100L5.1100xxy即0x探究拓展：（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，也就是其取值范围。（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“=”，此时应考虑函数的单调性。（2）由均值不等式得5.215.110025.1100×xxxxy当且仅当，即x=10时取等号xx100题型三：不等式的证明例4：已知求证：1,0,0baba9)11)(11(ba思维点拨：由于不等式左边含字母a,b右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母，不等号方向又不对，因a+b=1，能否把左边展开，实行“1”的代换。证：abba21由4141abab从而得abbaba1111)11)(11(ababba11921ab当且仅当时取等号21ba变式3：已知，求证：1,0,0,0cbacba9111cba证：当且仅当时取等号31cbaccbabcbaacbacba111111cbcabcbaacab92223cbbccaacbaab【走近高考】1.（08年江苏卷）设x,y,z为正实数，满足，则的最小值是______032zyxxzy2解：由得代入得当且仅当x=3z时取等号032zyx23zxy346646922xzxzxzxzxzzxxzy22.（06年上海卷）若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=,则2a+b+c的最小值为______324解：)13(22)13(2)13(23242))((2)()(2))(()(22cbacabacabacbacababcacababccbaa3．（07年山东卷）函数log(3)1(0,1)ayxaa的图象恒过定点A,若点A在直线10mxny上,其中0mn,则12mn的最小值为_______.解：函数log(3)1(0,1)ayxaa的图象恒过定点A（-2，-1），(2)(1)10mn，21mn，,0mn，121244()(2)4428.nmnmmnmnmnmnmn4.（08年重庆卷）若a是1+2b与1-2b的等比中项，则的最大值为____||2||2baab解：a是1+2b与1-2b的等比中项，则222214414||.ababab1||.4ab2224(||2||)4||1.ababab2222||4()||2||14||14||14||abababababababab2244411()(2)4||||ababab11||4,4||abab242max.||2||324abab