高中数学1.5全称量词与存在量词人教A版必修第一册

-1-1.5全称量词与存在量词[A基础达标]1．下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.2．命题“存在实数x，使x1”的否定是()A．对任意实数x，都有x1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：选C.命题“存在实数x，使x1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.4．下列结论中正确的是()A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题解析：选C.当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．故选C.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q-2-解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．解析：存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．答案：∃x0，(1＋x)(1－9x)2＞07．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝08．下列命题：①存在x0，x2－2x－3＝0；②对于一切实数x0，都有|x|x；③∀x∈R，x2＝x；④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x0＝－10，使x20－2x0－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x2＝|x|，故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．答案：①②9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是梯形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是梯形．10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；-3-(2)∃x∈R，使4x－3x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝52，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．[B能力提升]11．下列命题为真命题的是()A．对每一个无理数x，x2也是无理数B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的素数都是奇数解析：选C.若x＝2，则x2＝2是有理数，故A错误；B，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，所以存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0是假命题，故B错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是素数，但2不是奇数，故D错误．故选C.12．下列命题中正确的是________(填序号)．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是素数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．解析：①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是素数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.综上可得，①②③都正确．答案：①②③13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的．答案：是-4-14．已知命题p：∃x0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．解：因为命题p：∃x0，x＋a－1＝0为假命题，所以﹁p：∀x0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.所以a的取值范围为a≥1.[C拓展探究]15．命题“（a＋b）2|1＋b|＝a＋b1＋b”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．解：不是全称量词命题，增加条件“对∀a，b∈R，且满足1＋b0，a＋b≥0”，得到的命题是全称量词命题．