尤拉式的由来及其应用

　　尤拉式把指數函數與三角函數結合在一起，即eix=cosx+isinx，式中的e是自然對數的基底，定義是e=limn→∞（1+1n）n，且對任意實數xex=limn→∞（1+xn）n。透過這式子，一些難以證明的三角恆等式，都可在化成指數後得到證明，而式子e2pi=1更被推選為最漂亮的數學式子，式中出現了兩個超越數e與p與一個代數數i，是-1的平方根，但結果是一正整數。　　其實函數ex，cosx與sinx各自有冪級數展開式：ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+⋯，cosx=1-x22!+⋯+（-1）nx2n（2n）!+⋯，sinx=x-x33!+⋯+（-1）nx2n+1（2n+1）!+⋯，發現尤拉式並不難，但把指數函數的定義域擴充到複數領域，則是一充滿挑戰性的工作。一、三角函數的無窮乘積式　　西元1742年，尤拉在與他指導教授約翰．伯努利（JohannBernoulli）的往來信件中，首次提到著名的恆等式　2cosx=eix+e-ix!@#$%2isinx=eix-e-ix。這是由比較兩邊的冪級數展開而得到，尤拉也必發現sinx是下列多項式Pn（x）在n→∞的極限函數，Pn（x）=12i〔（1+ixn）n-（1-ixn）n〕，多項式Pn（x）很容易分離為一次與二次實係數因式的乘積，當n=2p+1是奇數時，利用Xn-Yn=（X-Y）（X-wY）（X-w2Y）⋯（X-wnY），其中w=cos2pn+isin2pn，而得到Xn-Yn=（X-Y）pPv=1（X2-2XYcos2vpn+Y2），現以X=1+ixn，Y=1-ixn代入得出Pn（x）=xpPv=1Qn,v（x），其中Qn,v（x）=1-1+cos2vp/n1-cos2vp/n．x2n2。很明顯地，對固定v，當n趨近於∞時，國立中正大學數學系◆余文卿　教授尤拉式的由來及其應用數學天地1數學講座Qn,v（x）趨近於1-x2v2p2，由這尤拉導出了無窮乘積式sinx=x∞Pn=1（1-x2n2p2），因此∞Pn=1（1-x2n2p2）=sinxx=1-x23!+x45!-⋯+（-1）nx2n（2n+1）!+⋯比較x2的係數得出-（112p2+122p2+⋯+1n2p2+⋯）=-13!，即112+122+⋯+1n2+⋯=p26。這是尤拉於1736年提出的成名傑作，但未有完整的理論做後盾，致未能取信於當時的數學專業人士，現總算有了強而有力的證明，只是把指數函數的定義域擴充為複數，這又引起另一個爭議。二、多倍角公式　　有名的棣美弗定理（TheoremofdeMoivre）斷言對任意整數n，（cosq+isinq）n=cosnq+isinnq，其實就是指數律（eiq）n=einq。配合二項式展開（cosq+isinq）n=cosnq+Cn1cosn-1q（isinq）+Cn2cosn-2q（isinq）2+⋯+Cnn（isinq）n，其中Cnk=n!k!（n-k）!是二項式係數。比較實部與虛部得出　cosnq=cosnq-Cn2cosn-2qsin2q+⋯+（-1）kCn2kcosn-2kqsin2kq!@@@#$$$%sinnq=Cn1cosn-1qsinq-Cn3cosn-3qsin3q+⋯+（-1）k8Cn2k8+1cosn-2k8-1qsin2k8+1q其中k是不大於n2的最大整數，而k8是不大於n-12的最大整數，特別是n=24344時，　cos2q=cos2q-sin2q!@#$%sin2q=2sinqcosq以及　cos3q＝cos3q-3sin2qcosq=4cos3q-3cosq!@#$%sin3q=3sinqcos2q-sin3q=3sinq-4sin3q　cos4q=cos4q-6sin2qcos2q+sin4q=8cos4q-8cos2q+1!@@#$$%sin4q=4cos3qsinq-4cosqsin3q　　反過來，利用尤拉式，可以把一些三角函數的冪次方表示為多倍角三角函數的組合，如cos5x=〔12（eix+e-ix）〕5=132（eix+e-ix）5=132（ei5x+5ei3x+10eix+10e-ix+5e-i3x+e-i5x）=132〔（ei5x+e-i5x）+5（ei3x+e-i3x）+10（eix+e-ix）〕=132（2cos5x+10cos3x+20cosx）=116cos5x+516cos3x+58cosx，同理得出sin5x=116sin5x-516sin3x+58sinx以及cos2xsin4x=132sin6x-116cos4x-132cos2x+116。三、雙曲函數　　三角函數又稱為圓函數（circularfunc_tion），原因是兩個主要的三角函數cosx與1數學天地sinx滿足平方關係數cos2x+sin2x=1對任意實數q，點（cosq4sinq）落在單位圓x2+y2=1上。另一方面，由指數函數ex的有理式所定出的六個函數為雙曲餘弦函數：coshx=ex+e-x2，雙曲正弦函數：sinhx=ex-e-x2，雙曲正切函數：tanhx=sinhxcoshx=ex-e-xex+e-x，雙曲餘切函數：cothx=coshxsinhx=ex+e-xex-e-x，雙曲正割函數：sechx=1coshx=2ex+e-x，雙曲餘割函數：cschx=1sinhx=2ex-e-x，因對任意實數u，點（coshu4sinhu）落在等軸雙曲線x2-y2=1上而得名，這些函數滿足底下的恆等式：cosh2x-sinh2x=1，tanh2x=1-sech2x，coth2x=1+csch2x。另外sinh2x=2sinhxcoshx，cosh2x=cosh2x+sin2x。為什麼這些恆等式與三角函數中的恆等式那麼相似？原因是出在尤拉式，雙曲函數只是三角函數在純虛數的取值！即　cosix=ei（ix）+e-i（ix）2=e-x+ex2=coshx!@@#$$%sinix=ei（ix）-e-i（ix）2i=e-x-ex2i=isinhx　　透過上面的關係式，可以把三角恆等式轉換為雙曲函數的恆等式。現以有名的和角公式為例：cos（a+b）=cosacosb-sinasinb以a=ix，b=iy代入得出cos（ix+iy）=cosixcosiy-sinixsiniy，即cosh（x+y）=coshxcoshy-（isinhx）（isinhy）=coshxcoshy+sinhxsinhy。同理由sin（a+b）=sinacosb+cosasinb，得出sinh（x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy。四、尤拉的生平事跡　　提到了尤拉在數學上的一些重要貢獻，不免對這號稱是數學界的多產才子產生興趣，現簡單地介紹他的生平。　　尤拉的父親保羅．尤拉是靠近巴謝爾的一個教區牧師，曾在巴謝爾大學攻讀神學，也旁聽了雅各．伯努利教授的數學演講。　　尤拉於1707年出生時，雅各已去世，而由他弟弟約翰繼承了教授的位置，約翰的兩個兒子尼可勞斯（生於1615年）與丹尼爾（生於1700年）追隨家族的傳統，都加入數學研究的行列。尤拉變成他們的真心朋友，又是約翰的高徒。　　在尤拉的事業上，有三個君王扮演著重要的角色，即彼得大帝（PetertheGreat）、菲得烈大帝（FrederictheGreat）與凱撒林女皇（theGreatCatherine）。彼得是一真正偉大的沙皇，死於1728年。生前，他建立了聖彼得堡城中較具特色的建築物，值得一提的是他比照西方標準而計劃成立科學研究院，這些計劃由他的遺孀凱撒林一一實現。而尼可勞斯與丹數學天地1數學講座尼爾成為新成立研究院中的成員，尼可勞斯後來得盲腸炎死去，而尤拉也受邀去加入聖彼得堡科學院的行列，這時他尚不滿二十歲，而剛以一造船學的論文得到法國科學院的論文獎。　　當尤拉於1727年到達聖彼得堡時，政治情況已有所改變，在新沙皇統治下，科學院已沒有空缺，靠著他得獎論文的名氣，尤拉得到蘇俄海軍協助而獲得一項研究工作，但隔不久，就成為科學院的給薪研究人員。當1733年，丹尼爾回故鄉時，尤拉繼承了他的位置而成為科學院的領導人物，也從此一舉成名，論文產量更是驚人。　　在聖彼得堡，1740年沙皇皇后死掉後，攝政團與繼起的混亂威脅到科學院的存在，而在這時候，菲德烈二世繼承他父親而登上普魯士的王位，他馬上任命建立科學院，搜遍全歐洲的著名科學家，自然地，尤拉在所要的名單上。菲德烈的慷慨出價，加上聖彼得堡急速惡化的生活環境，促使尤拉於1741年回到柏林，任職於柏林科學院，但仍保有聖彼得堡科學院的頭銜，連薪水都照領。　　尤拉與菲德烈相處並不愉快，這國王想到法國科學院把達朗伯特（d’Alembert）挖角過來，給予比尤拉職位更高的院長職位，雖然後來變成短期到訪，也使尤拉有回到俄國的念頭。　　俄國方面，政治又起了大變動，1762年，沙皇的德國妻子取得政治實權而成為凱撒林二世，她的第一個計畫是重建聖彼得堡科學院，以恢復昔日的光榮歷史。而這又跟請回尤拉是同義詞，之間的談判拖延了三年之久，最後在1766年，俄國駐柏林大使親自去要求尤拉寫下自己的合約書，同一年，尤拉回到聖彼得堡，也在這裡，尤拉度過了餘生。◎參考文獻1Andre’Weil,NumberTheory,AnapproachthroughhistoryfromHammurapitoLegendre,1984,BirkhäuserBostonInc..2GeorgeB,Thomas,Jr.andRossL.Finney,CalculusandAnalyticGeometry,1996,Addi_son-WesleyPublishingCompany.1數學天地