勾股定理拓展与拔高

勾股定理拓展与拔尖一、知识结构二.知识点回顾1、勾股定理的应用：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证2c与22ba是否具有相等关系（3）若2c=22ba，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若2c≠22ba则△ABC不是直角三角形。3.勾股数：满足22ba=2c的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9,40,41三．典型题剖析：针对训练、延伸训练考点一证明三角形是直角三角形1、在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，求证：EFA=90.针对训练：1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.41定理：222cba应用:主要用于计算直角三角形的性质:勾股定理直角三角形的判别方法::若三角形的三边满足222cba则它是一个直角三角形.勾股定理ABDCFE考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，求△ABC的周长。针对训练：1、.已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.考点三勾股定理的折叠问题例、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．针对训练：1、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3B．C．5D．考点四勾股定理的卡车通过大门问题例、某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD为长方形，上部是以AB为直径的半圆，其中AD＝2.3m，AB＝2m，现有一辆装满货物的大卡车，高2.5m，宽1.6m，试猜想这辆大卡车能否通过厂门？请说明理由．考点五勾股定理的探究和应用问题例、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.针对训练：1观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为。问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是；（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．考点六勾股定理的设计问题例、国家电力总公司为了改善农村用电费用过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某村六组有四个村庄A，B，C，D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．针对训练：1如图所示，铁路上有A、B两点（看做直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看做两个点），AD⊥AB，BC垂直AB，垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？考点七勾股定理的最短路径问题例、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）针对训练：1如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．5cmB．5.4cmC．6.1cmD．7cm考点八勾股定理的勾股数问题常见的勾股数及几种通式有：(1)（3，4，5）,（6，8，10）……3n,4n,5n(n是正整数)(2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……(3)(8，15，17),(12，35，37)……(4)m2－n2,2mn,m2＋n2(m、n均是正整数，mn)简单列出一些：课堂小测试（8分钟）1.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（）A.第三边一定为10B.三角形的周长为24C.三角形的面积为24D.第三边有可能为102．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或253．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（）A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=53．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.4、一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是()A．4B．310C.25D．5125．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm26、直角三角形中，斜边长为5cm，周长为12cm，则它的面积为()。A．122cmB．62cmC．82cmD．92cm7．等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、328．Rt△一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、90D、不能确定9．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里10.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）。A、600米B、800米C、1000米D、不能确定勾股定理独立作业（20分钟）1．下列各组数据中，可以构成直角三角形的是（）A．13、16、19B．17、21、23C．18、24、36D．12、35、372．有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则S△ABC为（）A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm24．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A．1︰2︰4B．1︰3︰5C．3︰4︰7D．5︰12︰135．若直角三角形的两直角边的长分别是10cm、24cm，则斜边上的高为（）A．6cmB．17cmC．cmD．cm6．有下面的判断：①△ABC中，，则△ABC不是直角三角形。②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则。③若△ABC中，，则△ABC是直角三角形。④若△ABC是直角三角形，则。以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．Rt△ABC的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长是△ABC的第三边，则这个正方形的面积是（）A．25B．7C．12D．25或78．一个三角形的三边之比是3︰4︰5，则这个三角形三边上的高之比是（）A．20︰15︰12B．3︰4︰5C．5︰4︰3D．10︰8︰29．在△ABC中，如AB=2BC，且∠B=2∠A，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2401312013222abc222abc222abc2ababc（+）(-)=10．如图是一个边长为60cm的立方体ABCD—EFGH，一只甲虫在菱EF上且距F点10cm的P处，它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是（）A．130B．C．D．不确定11．若△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，则此三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定12．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下面等式错误的是（）A．B．C．D．101571097222AC+DC=AD222ADDEAE222AD=DE+AC2221BDBEBC4