反比例函数图象及性质

1/7反比例函数图象及性质【知识点】定义：一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0，x≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k，y=kx^-1（k为常数(k≠0），x不等于0）函数的图像：当k0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.画法：1）列表2）在平面直角坐标系中描点。3）用平滑的曲线连接点。1.当K0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。2.当K0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。函数的性质：Y与x的变化：当k0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。因为在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。面积：在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½|k|。x...-3-2-11234...y...-4-6-1212643...2/7对称性：反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。类型一：函数性质，比较大小例1.如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）在反比例函数xy1的图象上，那么y1与y2间的关系是（）A.y2＜y1＜0B.y1＜y2＜0C.y2＞y1＞0D.y1＞y2＞0例2.对于函数3xkyx＝（k＞0）有以下四个结论：①这是y关于x的反比例函数；②当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；③函数图象与x轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是。变式一：函数的自变量x满足12≤x≤2时，函数值y满足14≤y≤1，则这个函数可以是（）A.12yx＝B.2yx＝C.18yx＝D.8yx＝变式二：如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线y=kx在第一象限经过点D．将正方形ABCD沿x轴向左平移（）个单位长度时，点C的对应点恰好落在曲线上．A．12B．1C．32D．23/7变式三：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数2yx＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数kyx＝的图象经过点Q，则k=．类型二：函数图像例1.设函数(0,0)kykxx的图像如图所示，若1zy，则z关于x的函数图像可能为（）变式一：已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A、B、C、D、变式二：函数y=﹣k（x﹣1）及y=kx在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．4/7类型三：不等式与方程含参问题1.如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象，则关于x的不等式kx+b＞2x的解为（）A.x＞1B.﹣2＜x＜1C.﹣2＜x＜0或x＞1D.x＜﹣2例2.已知关于x的方程2x=m的解满足325xynxyn－＝－＋＝（0＜n＜3），若y＞1，则m的取值范围是．例3.已知反比例函数xky1图象的两个分支分别位于第一、第三象限．（1）求k的取值范围；（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=﹣6时反比例函数y的值；②当102x＜＜时，求此时一次函数y的取值范围．变式一：如果反比例函数13myx的图象位于第二、四象限，那么m的取值范围为．变式二：已知反比例函数1kyx＝的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．5/7变式三：设一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（﹣1，﹣1）两点．（1）求该一次函数的表达式；（2）若点（2a+2，a2）在该一次函数图象上，求a的值．（3）已知点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在该一次函数图象上，设m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数+1myx＝的图象所在的象限，说明理由．类型四：面积相关例1.已知函数y=﹣kx（k≠0）与xy4的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为．例2.如图，反比例函数kyx＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为．6/7例3.如图，在反比例函数y=5x（x＞0）的图象上有点P1、P2、P3、P4，P5，它们的横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1s，2s，3s，4s，则1s+2s+3s+4s的值为（）A．4.5B．4.2C．4D．3.8例4.如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=﹣12x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，求：（1）△AOB面积=；（2）△AOB内切圆半径=；（3）点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=12AB，反比例函数kyx＝的图象经过点C，求k的值．变式一：如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=kx（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k=．7/7变式2：如图，已知点A（1，4），点B（6，23）是一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=mx（m＞0）图象的交点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D．（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）设P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．类型五：应用题型例1.在面积都相等的所有矩形中，当其中的一个矩形一边长为2时，它的另一边长为5.（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y。①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么?例2.已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求v关于t的函数表达式．（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？