提分攻略1：破解高考数学题的13大核心方法-

考前抢分攻略第二篇攻略1：考前必会核心方法栏目导航方法1方法2方法3方法4方法5方法6方法7方法8方法9方法10方法11方法12方法13返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法1数形结合法数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可使某些抽象的数学问题直观化、形象化，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，并且能避开复杂的推理与计算，大大简化解题过程．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例1]已知函数f(x)＝log2xx＞0|x|x≤0，函数g(x)满足以下三点条件：①定义域为R；②对任意x∈R，有g(x)＝12g(x＋2)；③当x∈[－1,1]时，g(x)＝1－x2.则函数y＝f(x)－g(x)在区间[－4,4]上零点的个数为()A．7B．6C．5D．4[思路点拨]当x∈[－3，－1]时，g(x)＝121－x＋22；当x∈[1,3]时，g(x)＝21－x－22，在同一坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象，两个图象有4个交点，可得结论．D返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析：∵对任意x∈R，有g(x)＝12g(x＋2)；当x∈[－1,1]时，g(x)＝1－x2，∴当x∈[－3，－1]时，g(x)＝121－x＋22；当x∈[1,3]时，g(x)＝21－x－22，在同一坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象，两个图象有4个交点，∴函数y＝f(x)－g(x)在区间[－4,4]上零点的个数为4，故选D．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]函数零点有关的问题解决常用数形结合的方法来破解，其关键：一是转化，即把函数零点的个数问题转化为方程的根的个数问题，再把方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；二是“草图不草”，画函数图象时，注意“以点控图”，虽画草图，但关键点要予以呈现，以便有效降低这类问题的错误率.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)◎举一反三(2018·枣庄月考)已知函数f(x)＝ex，x≤0x2＋ax＋1，x＞0，F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．[1，＋∞)C．(－∞，1)D．(0，＋∞)C返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析由题意，x≤0，F(x)＝ex－x－1，有一个零点0，x＞0，F(x)＝x[x＋(a－1)]，0是其中一个零点，∵函数F(x)有2个零点，∴1－a＞0，∴a＜1.故选C．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法2等价转化法利用等价转化法解题的关键：一是定目标转化，从已知条件入手，通过转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范，甚至模式化、简单的问题；二是利用相关知识解决所转化的问题．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例2](2018·白银月考)已知函数f(x)＝12x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间13，2上是增函数，则实数a的取值范围为______________．解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－1x≥0在13，2上恒成立，即2a≥－x＋1x在13，2上恒成立．又∵y＝－x＋1x在13，2上单调递减，－x＋1xmax＝83，∴2a≥83，即a≥43．43，＋∞返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]把可导函数fx在某个区间D上的单调递增，等价转化为f′x≥0在区间D上恒成立，再把恒成立问题通过分离参数法转化为最值问题来解决.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法3变量换元法变量换元法的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化.变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求证等问题．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例3]函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)B解析：令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t＞0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y＞1．∴所求值域为(1，＋∞)．故选B．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]破解此类问题的关键：一是利用已知条件建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值；二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一个函数，求得其值域，从而求得原函数的值域.但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法4待定系数法待定系数法的理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法主要用来解决具有某种确定的数学表达式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程(组)来解决．例如求圆锥曲线的方程、圆的方程、直线的方程、函数解析式、复数、数列等．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析：由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192(e11k)2，∴e11k＝4819212＝1412＝12.设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×123＝24．[典例4]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．24返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]破解此类问题的关键是依题设所给的函数模型，利用待定系数法求解，本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式，求出参数的值，再求解问题.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法5分离参数法求解不等式有解或恒成立问题常用分离参数法，可避免对参数进行分类讨论的繁琐过程.要注意该方法仅适用于分离参数后所得函数的最值或值域可求的问题．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析：函数f(x)＝x＋1ax的导数为f′(x)＝1－1ax2，由于f(x)在(－∞，－1)上单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x－1时，x21，则有1a≤1，解得a≥1或a0．[典例5]已知函数f(x)＝x＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0,1]C．(0,1]D．(－∞，0)∪[1，＋∞)D返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]求解含参数不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分类参数，先转化为fa≥gx或fa≤gx对任意x∈D恒成立，再转化为fa≥gxmax或fa≤gxmin；第二关是求最值关，即求函数gx在区间D上最大值或最小值.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法6构造法构造法应用的技巧：一是“定目标构造”，从已知条件入手，紧扣要解决的问题进行构造，把陌生问题构造为熟悉的问题；二是“解决构造的问题”，用相关的知识解决所构造的问题.解题时常构造正方体或长方体、构造函数、构造方程、构造平面图形等．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[典例6](2018·锦州模拟)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列三个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)②③返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．由平面与平面平行的定义知命题③正确．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]破解此类问题的关键：一是“取特殊模型”，即构造长方体或正方体模型，把不规则的空间几何体空间线、面放置其中去研究；二是“用公式用定理”，即利用柱体、锥体的表面积和体积公式空间线、面平行与垂直的判定定理、性质定理，即可求其表面积与体积判断空间线、面平行与垂直关系.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析设g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf′x－fxx2，∵当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，∴当x＞0时，g′(x)＜0，此时函数g(x)为减函数．∵f(x)是奇函数，∴g(x)＝fxx是偶函数，◎举一反三(2018·泰安模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，且f(－1)＝0，则使得f(x)＜0成立的x的取值范围是()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，1)∪(0,1)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,0)A返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)即当x＜0时，g(x)为增函数．∵f(－1)＝0，∴g(－1)＝g(1)＝0，当x＞0时，f(x)＜0等价为g(x)＝fxx＜0，即g(x)＜g(1)，此时x＞1；当x＜0时，f(x)＜0等价为g(x)＝fxx＞0，即g(x)＞g(－1)，此时－1＜x＜0，综上不等式的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故选A．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法7基本不等式法基本不等式法主要用来解决函数的值域或最值、代数式的取值范围等问题，此法适用于两式(或两式以上)的和为定值或积为定值，求最值问题．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)解析：由a2＋4＋4ab＋4b2a＋2b＝a＋2b2＋4a＋2b＝(a＋2b)＋4a＋2b，∵a＞0，b＞0，∴(a＋2b)＋4a＋2b≥24a＋2b·a＋2b＝4，当且仅当a＋2b＝2时取等号．则a2＋4＋4ab＋4b2a＋2b的最小值为4.故选D．[典例7]已知a＞0，b＞0，则a2＋4＋4ab＋4b2a＋2b的最小值为()A．14B．1C．2D．4D[思路点拨]构造基本不等式的性质即可求解．返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)[点评]运用基本不等式法求最值的关键：“一正”，即判断两个数为正数；“二定”，即和或积为定值；“三相等”，即检验是否满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求最值，则两次等号成立的条件要一致，否则最值取不到.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)◎举一反三若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析由题可知，1＝1x＋4y≥24xy＝4xy，即xy≥4，于是有m2－3mx＋y4≥xy≥4，故m2－3m4，化简得(m＋1)(m－4)0，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．B返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮·数学(文科)方法8类比推理法类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.返回导航第二篇考前抢分攻略第2轮