二项式定理

二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【梳理自测】一、二项式定理及特点1．(教材改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．62．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．103．(教材改编)二项式x3－1x25的展开式中的常数项为()A．10B．－10C．－14D．14答案：1.B2.B3.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.(2)二项展开式形式上的特点①项数为n＋1.②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.④二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.二、二项式系数的性质1．若x－12n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为()A.132B.164C．－164D.11282．若3x－1xn展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为()A．－5B．5C．－405D．405答案：1.B2.C◆以上题目主要考查了以下内容：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即Crn＝Cn－rn(r＝0,1，…，n)(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项Cn2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.【指点迷津】1．一个防范运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．2．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．3．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．[对应学生用书P172]考向一二项展开式中的特定项或系数(1)(2013·高考安徽卷)若x＋a3x8的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________.(2)(2013·高考江西卷)x2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40【审题视点】根据二项展开式的通项公式，令x的次数为4，则为x4的项，含x的次数为0，则为常数项．【典例精讲】(1)含x4的项为C38x5a3x3＝C38a3x4，∴C38a3＝7，∴a＝12.(2)设展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·－2x3r＝Cr5·x10－2r·(－2)r·x－3r＝Cr5·(－2)r·x10－5r.若第r＋1项为常数项，则10－5r＝0，得r＝2，即常数项T3＝C25(－2)2＝40.【答案】(1)12(2)C【类题通法】求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．1．(2014·浙江省温州市调研)(x－12x)6的展开式中的常数项是________．解析：二项式(x－12x)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr6(x)6－r(－12x)r＝(－12)rCr6x3－3r2，∴当r＝2时，Tr＋1是常数项，此时T3＝154.答案：154考向二二项展开式的系数和问题在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和．【审题视点】分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值．【典例精讲】设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和即为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，∴奇数项的系数和为1＋5102；①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项的系数和为1－5102.【类题通法】(1)对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.2．(2014·福建厦门模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3解析：选B.令x＝1，则(1＋1)n＝C0n＋C1n＋…＋Cnn＝64，∴n＝6.故(1＋x)6的展开式中最大项为T4＝C36x3＝20x3.考向三二项式定理的综合应用(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N*)能被31整除；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数；(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)．【审题视点】(1)(2)利用二项展开式寻求倍数关系．(3)根据展开式适当取舍．【典例精讲】(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝25n－12－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C0n×31n＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n×31＋Cnn－1＝31(C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n)，显然C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋Cn－1n为整数，∴原式能被31整除．(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是正整数，∴S被9除的余数为7.(3)1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C15×0.02＋C25×0.022＋…＋C55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.【类题通法】(1)利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧．(3)利用二项式定理证明不等式：由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．3．(2012·高考湖北卷)设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12解析：选D.512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012×52×(－1)2011＋C20122012×(－1)2012＋a∵C02012522012－C12012522011＋…＋C20112012×52×(－1)2011能被13整除，且512012＋a能被13整除．∴C20122012(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除，∴a可取值12.[对应学生用书P173]多次应用二项展开式通项公式搭配不全(2012·高考安徽卷)(x2＋2)1x2－15的展开式的常数项是()A．－3B．－2C．2D．3【正解】利用二项展开式的通项求解．二项式1x2－15展开式的通项为：Tr＋1＝Cr51x25－r·(－1)r＝Cr5·x2r－10·(－1)r.当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C45x－2·(－1)4＝C45×(－1)4＝5；当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C55x0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.【答案】D【易错点】(x2＋2)与1x2－15的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x2与x－2的积也为常数．【警示】求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．1．(2013·高考重庆卷)使3x＋1xxn(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7解析：选B.根据二项展开式的通项公式求解．Tr＋1＝Crn(3x)n－r1xxr＝Crn3n－rxn－52r，当Tr＋1是常数项时，n－52r＝0，当r＝2，n＝5时成立．2．(2013·高考全国新课标卷)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝()A．5B．6C．7D．8解析：选B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解．(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，∴a＝Cm2m.同理，b＝Cm＋12m＋1.∵13a＝7b，∴13·Cm2m＝7·Cm＋12m＋1.∴13·2m！m！m！＝7·2m＋1！m＋1！m！.∴m＝6.3．(2013·高考四川卷)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)解析：利用二项展开式的通项求解．(x＋y)5展开式的通项是Tr＋1＝Cr5x5－ryr，令r＝3得T4＝C35x2y3＝10x2y3，∴二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.答案：104．(2013·高考浙江卷)设二项式x－13x5的展开式中常数项为A，则A＝________.解析：写出二项展开式的通项Tr＋1，令通项中x的指数为零，求出r，即可求出A.Tr＋1＝Cr5(x)5－r－13xr＝Cr5(－1)rx52－5r6，令52－5r6＝0，得r＝3，所以A＝－C35＝－10.答案：－10第3讲二项式定理[最新考纲]1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1．二项式定理二