2020年全国2卷文科数学

12020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|3，x∈Z}，B={x||x|1，x∈Z}，则A∩B=（）A．B．{–3，–2，2，3）C．{–2，0，2}D．{–2，2}2．（1–i）4=（）A．–4B．4C．–4iD．4i3．如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤ijk≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．154．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名5．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．a+2bB．2a+bC．a–2bD．2a–b6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则nnSa=（）A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–127．执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（）A．2B．3C．4D．58．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为（）A．55B．255C．355D．4559．设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：22221()00xyabab，的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．4B．8C．16D．3210．设函数331()fxxx－，则()fx（）A．是奇函数，且在(0，+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，+∞)单调递减11．已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）A．3B．32C．1D．3212．若2233xyxy－－，则（）A．ln10yxB．ln10yxC．ln||0xyD．ln||0xy二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若2sin3x，则cos2x__________．14．记nS为等差数列na的前n项和．若1–2a，262aa，则S10=__________．315．若x，y满足约束条件1121,xyxyxy，，则2zxy的最大值是__________．16．设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14pp②12pp③23pp④34pp三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知25cos()cos24AA．（1）求A；（2）若33bca，证明：△ABC是直角三角形．418．(12分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix，2011200iiy，2021)80iixx（，2021)9000iiyy（，201))800iiixyxy（（．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r=12211))))ninniiiiiixyxxyxyy（（（（，2=1.414．519．(12分)已知椭圆C1：22221xyab(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．20．（12分）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=π3，求四棱锥B–EB1C1F的体积．621．（12分）已知函数()2ln1fxx．（1）若()2fxxc，求c的取值范围；（2）设0a时，讨论函数()()()fxfagxxa的单调性．7（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：224cos4sinxy，（θ为参数），C2：1,1xttytt（t为参数）．（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数221()faaxxx．（1）当a=2时，求不等式()4fx的解集；（2）若()4fx，求a的取值范围．8参考答案1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．B9．B10．A11．C12．A13．1914．2515．816．①③④17．解：（1）由已知得25sincos4AA，即21coscos04AA．所以21(cos)02A，1cos2A．由于0A，故3A．（2）由正弦定理及已知条件可得3sinsinsin3BCA．由（1）知23BC，所以23sinsin()sin333BB．即131sincos222BB，1sin()32B．由于03B，故2B．从而ABC△是直角三角形．18．解：（1）由己知得样本平均数20160120iiyy，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)iixy(1,2,,20)i的相关系数20120202211))80220.943809000))iiiiiiixyrxxyyxy（（（（．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．19．解：（1）由已知可设2C的方程为24ycx，其中22cab.不妨设,AC在第一象限，由题设得,AB的纵坐标分别为2ba，2ba；,CD的纵坐标9分别为2c，2c，故22||bABa，||4CDc.由4||||3CDAB得2843bca，即2322()ccaa，解得2ca（舍去），12ca.所以1C的离心率为12.（2）由（1）知2ac，3bc，故22122:143xyCcc，所以1C的四个顶点坐标分别为(2,0)c，(2,0)c，(0,3)c，(0,3)c，2C的准线为xc.由已知得312cccc，即2c.所以1C的标准方程为2211612xy，2C的标准方程为28yx.20．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．（2）AO∥平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1F=PN，故AO∥PN，又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN=AO=6，AP=ON=13AM=3，PM=23AM=23，EF=13BC=2．因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．作MT⊥PN，垂足为T，则由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT=PMsin∠MPN=3．底面EB1C1F的面积为1111()(62)624.22BCEFPN所以四棱锥B-EB1C1F的体积为1243243．1021．解：设h(x)=f(x)−2x−c，则h(x)=2lnx−2x+1−c，其定义域为(0，+∞)，2()2hxx.（1）当0x1时，h'(x)0；当x1时，h'(x)0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=−1−c.故当且仅当−1−c≤0，即c≥−1时，f(x)≤2x+c.所以c的取值范围为[−1，+∞).（2）()()2(lnln)()fxfaxagxxaxa，x∈(0，a)∪(a，+∞).222(lnln)2(1ln)()()()xaaaaxxxxgxxaxa取c=−1得h(x)=2lnx−2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当x≠1时，h(x)0，即1−x+lnx0.故当x∈(0，a)∪(a，+∞)时，1ln0aaxx，从而()0gx.所以()gx在区间(0，a)，(a，+∞)单调递减.22．解：（1）1C的普通方程为4(04)xyx．由2C的参数方程得22212xtt，22212ytt，所以224xy．故2C的普通方程为224xy．（2）由224,4xyxy得5,23,2xy所以P的直角坐标为53(,)22．设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x，由题意得220059()24xx，11解得01710x．因此，所求圆的极坐标方程为17cos5．23．解：（1）当2a时，72,3,()1,34,27,4,xxfxxxx因此，不等式()4fx的解集为311{|}22xxx或．（2）因为222(