正弦定理和余弦定理课时作业

课时作业24正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，AB＝12，sinC＝1，则abc等于()A．123B．321C．132D．231解析：由sinC＝1，∴C＝π2，由AB＝12，故A＋B＝3A＝π2，得A＝π6，B＝π3，由正弦定理得，abc＝sinAsinBsinC＝12321＝132.答案：C2．在△ABC中，若sin2A＋sin2Bsin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：由正弦定理得a2＋b2c2，所以cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．答案：C3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1解析：由题意知S△ABC＝12AB·BC·sinB，即12＝12×1×2sinB，解得sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋(2)2－2×1×2×－22＝5，解得AC＝5.符合题意．故选B.答案：B5．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33解析：在△ABC中，由已知条件及余弦定理可得c2＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2abcosπ3，整理得ab＝6，再由面积公式S＝12absinC，得S△ABC＝12×6×sinπ3＝323.故选C.答案：C6．已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.若△ABC的面积为16sinC，则角C的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由已知可得a＋b＋c＝2＋1，a＋b＝2c，∴c＝1，a＋b＝2.又12absinC＝16sinC，∴ab＝13.∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝a＋b2－2ab－c22ab＝12，∴C＝60°.答案：B二、填空题7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.解析：由已知条件可得sinA＝45，sinB＝1213，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5665，根据正弦定理bsinB＝csinC得c＝145.答案：1458．(2014·广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝________.解析：因为bcosC＋ccosB＝2b，所以由正弦定理可得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝2sinB，所以sin(π－A)＝2sinB，即sinA＝2sinB.于是a＝2b，即ab＝2.答案：29．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3a＝2csinA，c＝7，△ABC的面积为332，则a＋b＝________.解析：由3a＝2csinA及正弦定理得ac＝2sinA3＝sinAsinC，∵sinA≠0，∴sinC＝32.∵△ABC是锐角三角形，∴C＝π3，∴S△ABC＝12ab·sinπ3＝332，即ab＝6，∵c＝7，由余弦定理得a2＋b2－2abcosπ3＝7，即a2＋b2－ab＝7，解得(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.答案：5三、解答题10．(2014·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a值；(2)求sinA＋π4的值．解：(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.(2)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.11．(2014·山西四校联考)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA＝23，sinB＝5cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)∵cosA＝23，∴sinA＝1－cos2A＝53.∴5cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝53cosC＋23sinC.整理得tanC＝5.(2)由(1)知sinC＝56，cosC＝16，由asinA＝csinC知，c＝3.∵sinB＝5cosC＝5·16，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝52.1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B＝()A.π6B.π4C.π3D.3π4解析：由sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，代入整理得：c－bc－a＝ac＋b⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝12，所以B＝π3.答案：C2．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝3acosC，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B.2C.3D．3解析：由csinA＝3acosC，所以sinCsinA＝3sinAcosC，即sinC＝3cosC，所以tanC＝3，C＝π3，A＝2π3－B，所以sinA＋sinB＝sin2π3－B＋sinB＝3sinB＋π6，∵0B2π3，∴π6B＋π65π6，∴当B＋π6＝π2，即B＝π3时，sinA＋sinB的最大值为3.故选C.答案：C3．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝________.解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2sinB＝sinA＋sinC，∵A－C＝90°，∴2sinB＝sin(90°＋C)＋sinC，∴2sinB＝cosC＋sinC，∴2sinB＝2sin(C＋45°)．∵A＋B＋C＝180°，且A－C＝90°，∴C＝45°－B2代入上式中，2sinB＝2sin90°－B2，∴2sinB＝2cosB2，∴4sinB2cosB2＝2cosB2，∴sinB2＝24，∴cosB＝1－2sin2B2＝1－14＝34.答案：344．已知a＝(2cosx＋23sinx,1)，b＝(y，cosx)，且a∥b.(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(B)＝3，BA→·BC→＝92，且a＋c＝3＋3，求边长b.解：(1)由a∥b得2cos2x＋23sinxcosx－y＝0，即y＝2cos2x＋23sinxcosx＝cos2x＋3sin2x＋1＝2sin(2x＋π6)＋1，所以f(x)＝2sin(2x＋π6)＋1，又T＝2πω＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由f(B)＝3得2sin(2B＋π6)＋1＝3，解得B＝π6.又由BA→·BC→＝92知accosB＝92，所以ac＝33.b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝(3＋3)2－2×33－2×33×32＝3，所以b＝3.