反比例函数与四边形结合问题赏析

反比例函数与四边形结合问题赏析反比例函数与四边形联袂出场的试题层出不穷.这些试题设计新颖，灵活性较强，与四边形的知识和其它数学知识结合较为紧密，综合程度高，难度较大，是增强学生的数感和符号感、培养学生利用数形结合思想进行数学探究能力的有效载体.一、一支双曲线与四边形结合例1(2015年陕西)如图1，在平面直角坐标系中，过点(3,2)M分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数4yx的图象交于,AB两点，则四边形MAOB的面积为.图1二、一支双曲线与平行四边形结合例2(2013年武汉)如图2，已知四边形ABCD是平行四边形，2,,BCABAB两点的坐标分别是(－1,0),(0,2),,CD两点在反比例函数(0)kyxx的图象上，则k的值等于.图2.三、一支双曲线与矩形结合例3(2013年乌鲁木齐)如图3，反比例函数3(0)yxx的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F，且AEBE，则OEF的面积的值为.图3四、一支双曲线与菱形结合例4(2015年重庆)如图4，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，,AB两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数3yx的图象经过,AB两点，则菱形ABCD的面积为()(A)2(B)4(C)22(D)42图4五、一支双曲线与正方形结合例5(2014年济宁)如图5，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上,点B、E在反比例函数kyx的图象上，1,6OAOC，则正方形ADEF的边长为.图5六、两支双曲线与四边形结合例6(2015年南宁)如图6，点A在双曲线23(0)yxx上，点B在双曲线(0)kyxx上(点B在点A的右侧)，且AB//x轴.若四边形OABC是菱形，且60AOC，则k=.图6七、两个正方形与一支双曲线结合例7(2011年宁波)如图7，正方形1112ABPP的顶点1P、2P在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点1A、1B分别在x轴、y轴的正半轴上;再在其右侧作正方形2322PPAB，顶点3P在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点2A在x轴的正半轴上，则点3P的坐标为.图7答案解析：1.解析如图1，设点A的坐标为(,ab)，点B的坐标为(,cd).根据反比例函数4yx的图象过,AB两点，得4,4abcd.进而得到112,2,33622AOCBODMCDOSabScdS矩形,所以四边形MAOB的面积为22610AOCBODMCDOSSS矩形,故答案为10.点评本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出112,222AOCBODSabScd是解题的关键，注意k的几何意义的应用.2.解析如图2，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G,CF交AD于M点，过D点作DHCG，垂足为H.CD//AB,CDAB,CDH≌ABO,1,2DHAOCHOB.设(,),(1,2)CmnDmn，则(1)(2)mnmnk,解得22nm,222(2)5BCmnm,5AB.22,525BCABm，解得2,6mn,12kmn.点评本题考查反比例函数的综合题，涉及平行四边形的性质、坐标平移及解方程的知识.解本题的关键在于两点:①设C点的坐标，利用平移得到D点坐标，根据反比例图象上点的坐标与k的关系，代入反比例函数解析式得出方程;②根据2BCAB，得到另一个方程.本题难度较大，既考查几何推理能力，又考查学生的计算能力，是一道数形结合的好题3.解析如图3，连接OB.首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出1.5AOECOFSS.然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则10.752BEFOCFSS.由33139622224OEFAOECOFBEFAOCBSSSSS矩形,得出结果.点评本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即12Sk.根据题中的条件和矩形的性质，得出点F为BC的中点是解决本题的关键.4.解析过A点作x轴垂线，与CB的延长线交于点E，根据,AB两点的纵坐标分别为3,1，可以求出A(3,1),B(1,3)，并有2AEBE.再根据勾股定理求出AB，利用菱形的面积公式，求出菱形面积为42.应选D.点评本题主要考查菱形性质及反比例图象上点的坐标特征，熟悉菱形的面积公式是解题的关键.5.解析先确定B点坐标(1,6).根据反比例函数图象上点的坐标特征得到6k,则反比例函数解析式为6yx.设ADt，则1ODt，所以E点坐标为(1,)tt.再利用根据反比例函数图象上点的坐标特征，得(1)6tt，解得13t(舍去),22t.点评本题利用正方形边长相等，建立B点和E点之间的关系，重点考查了反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(,xy)的横纵坐标的积是定值k，即xyk.同时也考查用因式分解法解一元二次方程的知识.6.解析根据点A在双曲线23(0)yxx上，可设A点坐标为(23,aa),利用含30°直角三角形的性质求出2OAa.再利用菱形的性质得到B点坐标为(233,aa),可得23363kaa.点评此题主要考查利用待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出B点坐标，由此即可求出反比例函数解析式，7.解析过点1P、2P分别作y轴的垂线1PMy轴，2PNx轴，垂足分别为,MN.易证11PBM≌21PAN≌11ABO.设12(,),(,)PmmnPmnn，则有()()2mmnnmn,所以2(2,1)P.同理设3(2,)Paa，则有(2)2aa,解得31a，所以3(31,31)P.点评本题考查反比例函数图象上点的坐标的特点，即横坐标、纵坐标之积为定值k;也考查了正方形的性质、三角形的性质和判断，以及解一元二次方程的知识.