高中数学人教A版(课件)必修四-第三章-三角恒等变换-3.1.3-

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式上一页返回首页下一页1．会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2．掌握二倍角公式及其变形公式的应用．(难点)3．二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系．(易混点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材P132～P133例5以上内容，完成下列问题．1．二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝________________C2αcos2α＝________________T2αtan2α＝___________2sinαcosαcos2α－sin2α2tanα1－tan2α上一页返回首页下一页2.余弦的二倍角公式的变形3．正弦的二倍角公式的变形(1)sinαcosα＝12sin2α，cosα＝__________．(2)1±sin2α＝________________________．sin2α2sinα(sinα±cosα)2上一页返回首页下一页1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．()上一页返回首页下一页【解析】(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.(3)×.当cosα＝1－32时，cos2α＝2cosα.【答案】(1)×(2)√(3)×上一页返回首页下一页2．已知cosα＝13，则cos2α等于________．【解析】由cosα＝13，得cos2α＝2cos2α－1＝2×132－1＝－79.【答案】－79上一页返回首页下一页[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：上一页返回首页下一页[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos4α2－sin4α2；(2)sinπ24·cosπ24·cosπ12；(3)1－2sin2750°；(4)tan150°＋1－3tan2150°2tan150°.上一页返回首页下一页【精彩点拨】灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】(1)cos4α2－sin4α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝cosα.(2)原式＝122sinπ24cosπ24·cosπ12＝12sinπ12·cosπ12＝142sinπ12·cosπ12＝14sinπ6＝18.∴原式＝18.上一页返回首页下一页(3)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan2150°＋1－3tan2150°2tan150°＝1－tan2150°2tan150°＝1tan（2×150°）＝1tan300°＝1tan（360°－60°）＝－1tan60°＝－33.∴原式＝－33.上一页返回首页下一页二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α，2tanα1－tan2α＝tan2α.上一页返回首页下一页(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，1＋cos2α＝2cos2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.上一页返回首页下一页[再练一题]1.求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)2tan150°1－tan2150°；(3)1sin10°－3cos10°；(4)cos20°cos40°cos80°.上一页返回首页下一页【解】(1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(3)原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.上一页返回首页下一页(4)原式＝2sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝2sin40°·cos40°·cos80°4sin20°＝2sin80°·cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.上一页返回首页下一页利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sinα＝3cosα，那么tan2α的值为()A．2B．－2C．34D．－34(2)已知sinπ6＋α＝13，则cos2π3－2α的值等于()A．79B．13C．－79D．－13上一页返回首页下一页(3)(2016·天津高一检测)已知cosα＝－34，sinβ＝23，α是第三象限角，β∈π2，π.①求sin2α的值；②求cos(2α＋β)的值．【精彩点拨】(1)可先求tanα，再求tan2α；(2)可利用23π－2α＝2π3－α及π3－α＝π2－π6＋α求值；(3)可先求sin2α，cos2α，cosβ，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)因为sinα＝3cosα，所以tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×31－32＝－34.(2)因为cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝13，所以cos2π3－2α＝2cos2π3－α－1＝2×132－1＝－79.上一页返回首页下一页【答案】(1)D(2)C(3)①因为α是第三象限角，cosα＝－34，所以sinα＝－1－cos2α＝－74，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×－74×－34＝378.上一页返回首页下一页②因为β∈π2，π，sinβ＝23，所以cosβ＝－1－sin2β＝－53，cos2α＝2cos2α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝18×－53－378×23＝－5＋6724.上一页返回首页下一页直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sinα(或cosα)――――――――――→同角三角函数的关系cosα(或sinα)――――――→二倍角公式sin2α(或cos2α)．(2)sinα(或cosα)――――――→二倍角公式cos2α＝1－2sin2α(或2cos2α－1)．(3)sinα(或cosα)――――――――――――→同角三角函数的关系cosα（或sinα），tanα――――――――→二倍角公式tan2α.上一页返回首页下一页[再练一题]2．(1)已知α∈π2，π，sinα＝55，则sin2α＝______，cos2α＝________，tan2α＝________．(2)已知sinπ4＋αsinπ4－α＝16，且α∈π2，π，求tan4α的值．【解析】(1)因为α∈π2，π，sinα＝55，所以cosα＝－255，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×55×－255＝－45，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.上一页返回首页下一页【答案】－4535－43(2)因为sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α，则已知条件可化为sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，即12sin2π4＋α＝16，所以sinπ2＋2α＝13，上一页返回首页下一页所以cos2α＝13.因为α∈π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin2α＝－1－cos22α＝－223，所以tan2α＝sin2αcos2α＝－22，故tan4α＝2tan2α1－tan22α＝－421－（－22）2＝427.上一页返回首页下一页利用二倍角公式证明求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2Acos2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos2θ.【精彩点拨】(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式．(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)左边＝1＋cos（2A＋2B）2－1－cos（2A－2B）2＝cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）2＝12(cos2Acos2B－sin2Asin2B＋cos2Acos2B＋sin2Asin2B)＝cos2Acos2B＝右边，∴等式成立．上一页返回首页下一页(2)法一：左边＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝右边．法二：右边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ1－sin2θcos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边．上一页返回首页下一页证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．上一页返回首页下一页[再练一题]3．证明：1＋sin2α2cos2α＋sin2α＝12tanα＋12.【导学号：00680072】【证明】左边＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα2cos2α＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）22cosα（sinα＋cosα）＝sinα＋cosα2cosα＝12tanα＋12＝右边．所以1＋sin2α2cos2α＋sin2α＝12tanα＋12成立．上一页返回首页下一页[探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1在化简1＋sinα－cosα1＋sinα＋cosα＋1＋cosα＋sinα1－cosα＋sinα时，如何灵活使用倍角公式？【提示】在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成α2的倍角，可能会有另一种思路，上一页返回首页下一页原式＝2sinα2cosα2＋sinα22cosα2cosα2＋sinα2＋2cosα2cosα2＋sinα22sinα2sinα2＋cosα2＝sinα2cosα2＋cosα2sinα2＝1sinα2cosα2＝2sinα.上一页返回首页下一页探究2如何求函数f(x)＝2cos2x－1－23·sinxcosx(x∈R)的最小正周期？【提示】求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－3×(2sinxcosx