第11课时直线与圆锥曲线的位置关系习题和答案详解

1．若过原点的直线l与双曲线x24－y23＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是()A．(－32，32]B．(－32，32)C．[－32，32]D．(－∞，－32]∪[32，＋∞)答案B解析∵x24－y23＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－32，k2＝32，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是[0，32)∪(－32，0]．2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为()A．32B．23C.303D.326答案C解析设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.由x1＋x2＝4k（k－1）2k2＋1＝2，得k＝－12，x1x2＝13.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－43＝83.∴|AB|＝1＋14·263＝303.3．(2019·辽宁师大附中期中)过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则x122＋y12＝1，x222＋y22＝1.两式相减，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝－x2y，又∵k2＝yx.∴k1·k2＝－12.4．(2019·衡水中学调研)过抛物线x2＝4y的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则1|AB|＋1|CD|＝()A．2B．4C.12D.14答案D解析根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，直线CD的方程为y＝－1kx＋1，由y＝kx＋1，x2＝4y，得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，由根与系数的关系得yA＋yB＝2＋4k2，所以|AB|＝yA＋yB＋2＝4＋4k2，同理|CD|＝yC＋yD＋2＝4＋4k2，所以1|AB|＋1|CD|＝14k2＋4＋k24k2＋4＝14，故选D.5．(2019·福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为25，抛物线y＝14x2＋14与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.x28－y22＝1B.x22－y28＝1C．x2－y24＝1D.x24－y2＝1答案D解析由题意可得c＝5，即a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.将渐近线方程和抛物线方程y＝14x2＋14联立，可得14x2±bax＋14＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝b2a2－4×14×14＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为x24－y2＝1.故选D.6．(2019·潍坊考试)已知抛物线y2＝4x与直线2x－y－3＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则1k1＋1k2的值为()A．－14B．－12C.14D.12答案D解析设A(y124，y1)，B(y224，y2)，易知y1y2≠0，则k1＝4y1，k2＝4y2，所以1k1＋1k2＝y1＋y24，将x＝y＋32代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，1k1＋1k2＝12.7．(2019·石家庄质量检测一)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是()A.3B．2＋3C．2D.2＋1答案B解析由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线．故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，|BF2|＝23c，∴2a＝4c－23c，∴e＝ca＝2＋3，故选B.8．(2019·沧州七校联考)已知直线l1：y＝kx＋2(k0)与椭圆C：x24＋y23＝1相切，且切点为M，F是椭圆C的左焦点，直线l2过点M且垂直于直线l1，交椭圆于另一点N，则△MNF的面积是()A.1519B.4519C.1538D.4538答案D解析由y＝kx＋2，x24＋y23＝1，可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，因为直线l1与椭圆C相切于点M，所以Δ＝(16k)2－4(3＋4k2)×4＝48(4k2－1)＝0，又k0，所以k＝12，M(－1，32)，故l2：y＝－2(x＋1)＋32＝－2x－12，代入椭圆方程得19x2＋8x－11＝0，解得x1＝－1，x2＝1119，则y1＝32，y2＝－6338，设l2与x轴的交点为A，则A(－14，0)，又F(－1，0)，所以△MNF的面积S＝12|AF|·|y2－y1|＝12×34×|－6338－32|＝4538.故选D.9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F(－c，0)关于直线bx＋cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是()A.24B.34C.33D.22答案D解析设焦点F(－c，0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)，则nm＋c·（－bc）＝－1，b·m－c2＋c·n2＝0，所以nm＋c＝cb，bm－bc＋nc＝0，所以m＝b2c－c3b2＋c2＝（a2－2c2）ca2＝(1－2e2)c，n＝c2b＋bc2b2＋c2＝2bc2a2＝2be2.因为点P(m，n)在椭圆上，所以（1－2e2）2c2a2＋4b2e4b2＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2－1＝0，将各选项代入知e＝22符合，故选D.10．(2019·福州质检)已知圆C：(x－5)2＋(y－12)2＝8，抛物线E：x2＝2py(p0)上两点A(－2，y1)与B(4，y2)，若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为()A．x＝－12B．y＝－1C．y＝－12D．x＝－1答案C解析由题意知，A(－2，2p)，B(4，8p)，∴kAB＝8p－2p4－（－2）＝1p，设抛物线E上的切点为(x0，y0)，由y＝x22p，得y′＝xp，∴x0p＝1p，∴x0＝1，∴切点为(1，12p)，∴切线方程为y－12p＝1p(x－1)，即2x－2py－1＝0，∵切线2x－2py－1＝0与圆C相切，∴圆心C(5，12)到切线的距离为22，即|9－p|4＋4p2＝22，∴31p2＋18p－49＝0，∴(p－1)(31p＋49)＝0，∵p0，∴p＝1.∴抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－12，故选C.11．(2019·广东七校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________．答案32解析∵p＝2，1|AF|＋1|BF|＝2p，∴13＋1|BF|＝1，∴|BF|＝32.12．(2019·武汉市武昌高三调考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与准线交于点M，且FM→＝3FP→，则|FP→|＝________．答案43解析过点P作PP1垂直准线于P1，由FM→＝3FP→，得|PM|＝2|PF|.又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|.由三角形相似，得|PP1|p＝|PP1|2＝|MP||MF|＝23，所以|PP1|＝43，所以|FP→|＝43.13．(2019·天星联考二)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过A作直线l与抛物线交于M，N两点，则|FM|2＋|FN|2的取值范围为________．答案(8，＋∞)解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，其准线x＝－1与x轴交于A(－1，0)，显然直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，与y2＝4x联立并化简整理得x2＋(2－4k2)x＋1＝0，Δ＝(2－4k2)2－40，即1k21，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2－2，x1x2＝1.方法一：由抛物线的定义知，|FM|＝x1＋1，|FN|＝x2＋1，则|FM|2＋|FN|2＝(x1＋1)2＋(x2＋1)2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(4k2－2)2＋2(4k2－2)＝(4k2－1)2－18，即|FM|2＋|FN|2的取值范围为(8，＋∞)．方法二：由两点间的距离公式，知|FM|2＋|FN|2＝(x1－1)2＋y12＋(x2－1)2＋y22＝(x1－1)2＋4x1＋(x2－1)2＋4x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(4k2－2)2＋2(4k2－2)＝(4k2－1)2－18，即|FM|2＋|FN|2的取值范围为(8，＋∞)．14．(2019·河南洛阳第一次统考)已知抛物线C：x2＝2py(y0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线C的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切．答案(1)x2＝2y(2)略解析(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1.∴抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋p2，联立y＝kx＋p2，x2＝2py，得x2－2kpx－p2＝0.①设方程①的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.设A(x1，x122p)，B(x2，x222p)．设M(kp，k2p＋p2)，N(kp，－p2)．∴kAN＝x122p＋p2x1－kp＝x122p＋p2x1－x1＋x22＝x12＋p22px1－x22＝x12－x1x22px1－x22＝x1p.又∵x2＝2py，∴y′＝xp.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝x1p.∴直线AN与抛物线相切．15．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若AF→＝2FB→，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．答案(1)±22(2)4解析(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为AF→＝2FB→，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±24.所以直线AB的斜率是±22.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点．从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2×12·|OF|·|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝41＋m2，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.16．(2019·河北唐山一中期末)已知抛物线C：x2＝2py(p0)，圆O：x2＋y2＝1.(1)若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．答案(1)5－1(2)223解析(1)由题意得F(0，1)，∴C：x2＝4y.解方程组x2＝4y，x2＋y2＝1，得yA＝5－2，∴|AF|＝5－1.(2)设M(x0，y0)，则切线l：y＝x0p(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0.由|ON|＝1，得|py0|＝x02＋p2＝2py0＋p2.∴p＝2y0y02－1且y02－10.∴|MN|2＝|OM|2－1＝x02＋y02－1＝2py0＋y02－1＝4y02y02－1＋y02－1＝4＋4y