2018-2019学年江苏省南菁高级中学高一上学期第一次阶段测试数学试题

2018-2019学年江苏省南菁高级中学高一上学期第一次阶段测试数学试题2018.10.8一、选择题(共10小题，每小题5分，合计50分)1．已知集合U＝R，A＝{x∈Z|x2＜5}，B＝{x|x2(2﹣x)＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(C)A．{2}B．{1，2}C．{0，2}D．{0，1，2}2．下列各组函数中，表示同一函数的是(D)A．f(x)＝1，g(x)＝x0B．f(x)＝x﹣2，g(x)＝x2－4x＋2C．f(x)＝x，g(x)＝(x)2D．f(x)＝|x|，g(x)＝x23.设集合M＝{x|(x＋1)(x﹣3)≤0}，N＝{y|y(y﹣3)≤0}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则函数f(x)的图象可以是(B)A．B．C．D．4.．已知函数y＝f(x﹣1)定义域是[﹣3，2]，则y＝f(2x＋1)的定义域是(B)A．[﹣7，3]B．[﹣52,0]C．[﹣3，7]D．[﹣32,1]5.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有(C)A．15个B．12个C．9个D．8个6．设f(x)＝(x＋1)2x＜14－x－1x≥1则使得f(m)＝1成立的m值是(D)A．10B．0，10C．1，﹣1，11D．0，﹣2，107.奇函数f(x)在(﹣∞，0)上的解析式是f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(B)A．最大值－14B．最大值14C．最小值－14D．最小值148.已知f(x)＝axx＞1(4－a2)x＋2x≤1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是)A.[4,8)B.(0,8)C.(4,8)D.(0,8]9.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1﹣a，则有(A)A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)＜f(x2)和f(x1)＝f(x2)都有可能10.已知奇函数g(x)是R上的减函数,且f(x)＝g(x)＋2,若f(m)＋f(m－2)＞4,则实数m的取值范围是(A)A.1，B.3，C.，1D.，3二、填空题(共6小题，每小题5分，合计30分)11.已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有▲个．412.若f(x)＝kx2－6kx＋k＋8的定义域为R，则实数k的取值范围是▲.0≤k≤113.函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是▲.f（2.5）＞f（1）＞f（3.5）14.已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝▲.31215.已知y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，它们的定义域均为[﹣3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是▲.{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1或2＜x＜3}．16.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数m满足对任意x∈M(M⊆D)，均有x＋m∈D，且f(x＋m)≥f(x)，则称f(x)为M上的m高调函数.如果定义域为D的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝|x－a2|－a2，且f(x)为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围为▲.,三、解答题(共5小题，合计70分)17、(本小题满分12分)设全集为R，A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}．(1)求A∪(∁RB)；(2)若C＝{x|a﹣1≤x≤a＋3}，A∩C＝A，求实数a的取值范围．解：（1）全集为R，A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}，2分∁RB={x|x＜3}，4分∴A∪（∁RB）={x|x＜4}；6分（2）C={x|a﹣1≤x≤a+3}，且A∩C=A，知A⊆C，8分由题意知C≠∅，∴，解得，∴实数a的取值范围是a∈[1，3]．18、(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，其中a∈R，且a≠0(Ⅰ)设h(x)＝(2x﹣3)f(x)，若函数y＝h(x)图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；(Ⅱ)当a＞﹣2时，求函数y＝|f(x)|在[0，1]上最大值．解：（Ⅰ）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；2分若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．6分（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故ymax=f（1）=2+a；8分（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故ymax=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，综上所述，ymax=分19、(本小题满分14分)函数f(x)＝ax＋bx2＋1为R上的奇函数，且f(12)＝25．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)≤m2－35区间[2,4]恒成立，求m的取值范围．解：（Ⅰ）∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴－ax＋bx2＋1＋ax＋bx2＋1＝0对一切x成立，即2bx2＋1＝0恒成立，∴b=0，∴f(x)＝axx2＋1．4分又f(12)＝25，∴a＝1.∴f(x)＝xx2＋1．6分（Ⅱ）在区间[2，4]上任取x1，x2，且2≤x1＜x2≤4，则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2x22＋1＝x1(x22＋1)－x2(x21＋1)(x21＋1)(x22＋1)＝x1x2(x2－x1)＋(x1－x2)(x21＋1)(x22＋1)＝(x2－x1)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)．8分∵2≤x1＜x2≤4，∴x2－x1＞0，x1x2－1＞0，又x21＋1＞0，x22＋1＞0，故知(x2－x1)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．故知，函数在[2,4]上单调递减．∴f(x)max＝f(2)＝25．12分若f(x)≤m2－35区间[2,4]恒成立，f(x)max≤m2－35，即25≤m2－35，∴m2≥1，∴m≤－1或m≥1，∴m的取值范围是(－∞,1]∪[1,＋∞)．分20、(本小题满分15分)直角梯形ABCD如图1所示，动点P从B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)，如果函数y＝f(x)的图象如图2所示．试求(Ⅰ)△ABC的面积；(Ⅱ)AP的长度l＝g(x)的表达式．并求g(x)的最大值.解：（Ⅰ）由图2可知，当0≤x≤4，时，△ABP的面积y在逐渐增大，当x＝4时，可知△x14PABCDx↑f(x)（图1）OA49y（图2）EABP的面积y有最大值，由图1可知，此时，P点与C点重合，∴BC＝4；1分图2还告诉我们，当4＜x≤9时，三角形的面积没有变化，观看图1，知CD＝5；3分而当9＜x≤14时，△ABP的面积y在逐渐减少到0为此，故知AD＝5．5分在图1中，过D作DE⊥AB于E，则AB＝AE＋EB＝3＋5＝8，故知△ABC的面积＝12×8×4＝16．7分（Ⅱ）当0≤x≤4，点P在BC上时，在△ABP中，由勾股定理可得，l＝64＋x2；当4＜x≤9时，点P在CD上运动，此时CP＝x－4，亦由勾股定理，得l＝[8－(x－4)]2＋42＝x2－24x＋160；当9＜x≤14时，l＝14－x．∴g(x)＝64＋x2(0≤x≤4)x2－24x＋160(4＜x≤9)14－x(9＜x≤14)．13分15分21、(本小题满分15分)已知定义在(﹣∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对于任意的x，y∈(﹣∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x＞1时，f(x)＞0，且f(2)＝1．(1)求f(1)，f(﹣1)的值，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间[﹣4，0)∪(0，4]上的最大值．解：（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；再令x=y=﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]=f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）=0．对于条件f（x•y）=f（x）+f（y），令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）=f（x）．又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则有．又∵当x＞1时，f（x）＞0，∴f（）＞0而＞f（x1），所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1，∴f（4）=2．又由（1）知函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上是偶函数且在（0，4]上是增函数，∴函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值为f（4）=f（﹣4）=2．