三角函数化简题

课题：§三角函数的化简、求值与证明日期：2009年月日星期高考目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．教学重点熟练地运用三角公式进行化简与证明．有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．知识回顾1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。主要方法1．三角函数的求值：1．寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2．正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等．1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．基本训练1、已知是第三象限角，且4459sincos，那么2sin等于（A）A、223B、223C、23D、232、函数23232ysinxcosx的最小正周期（B）A、2B、C、3D、43、tan70cos10(3tan201)等于（D）A、1B、2C、－1D、－24、已知46sin3cos(4)4mmm，则实数m的取值范围是＿＿[－1，73]＿＿＿。5、设10,sincos2，则cos2＝＿＿74＿＿＿。例题分析：例1．已知3sin5mm，42cos5mm（2），则tan（C）()A423mm()B342mm()C512()D34或512略解：由22342()()155mmmm得8m或0m（舍），∴5sin13，∴5tan12．例2．已知1cos(75)3，是第三象限角，求cos(15)sin(15)的值．解：∵是第三象限角，∴36025575360345kk（kZ），∵1cos(75)3，∴75是第四象限角，∴2122sin(75)1()33，∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3．例3．已知2sinsin1，求243coscos2sin1的值．解：由题意，22sin1sincos，∴原式223sinsin2sin1sin1cos1sinsin22．例4．已知8cos(2)5cos0，求tan()tan的值．解：∵2()，()，∴8cos[()]5cos[()]0a，得13cos()cos3sin()sin，若cos()cos0，则13tan()tan3，若cos()cos0，tan()tan无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()，2()()，2()等，解题过程中应充分利用这种变形．例5．已知关于x的方程22(31)0xxm的两根为sin,cos,(0,2)，求：（1）sincos1cot1tan的值；（2）m的值；（3）方程的两根及此时的值．解：（1）由根与系数的关系，得31sincos2sincos2m，∴原式2222sincossincos31sincossincoscossinsincos2．（2）由①平方得：2312sincos2，3sincos4，即324m，故32m．（3）当232(31)02xx，解得1231,22xx，∴3sin21cos2或1sin23cos2，①②∵(0,2)x，∴3或6．例1．化简：（1）23tan123sin12(4cos122)；（2）(cottan)(1tantan)222；（3）(1sincos)(sincos)22(0)22cos．解：（1）原式21323(sin12cos12)3sin123cos12222sin12cos12(2cos121)sin24cos2423sin(1260)431sin482．（2）原式1cos1cossin1cos()(1)sinsincossin2cos1cos1(1)2cot(11)2cscsincoscos．（3）原式2(2cos2cossin)(sincos)222222(1cos)22cos(cossin)(sincos)2222222cos2222cos(sincos)cos(cos)22222|cos||cos|22∵0，∴022，∴|cos|cos22，∴原式cos．例3．证明：（1）222(3cos4)tancot1cos4xxxx；（2）sin(2)sin2cos()sinsinABBABAA．证：（1）左边22442222222222sincossincos(sincos)2sincos1cossinsincossin24xxxxxxxxxxxxx22222111sin21sin284sin244cos222111cos41cos4sin2(1cos4)48xxxxxxxx42(1cos4)2(3cos4)1cos41cos4xxxx右边，∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sinsinABBABAAsin()coscos()sinsinABAABAAsin[()]sinsinsinABABAA右边，∴得证．课堂练习1．若cos130a，则tan50（D）()A21aa()B21aa()C21aa()D21aa2．(1tan20)(1tan21)(1tan24)(1tan25)（B）()A2()B4()C8()D163．化简：42212cos2cos2.2tan()sin()44xxxx答案：1cos22x4．设3177cos(),45124xx，求2sin22sin1tanxxx的值。答案：28756．已知11sin()cos[sin(2)cos],022，求的值。答案：27．（05北京卷）已知tan2=2，求（I）tan()4的值；（II）6sincos3sin2cos的值．解：（I）∵tan2=2,∴22tan2242tan1431tan2;所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（II）由(I),tanα=－34,所以6sincos3sin2cos=6tan13tan2=46()173463()23.8．（05全国卷）已知函数2()2sinsin2,[0,2].fxxxx求使()fx为正值的x的集合.解：∵()1cos2sin2fxxx………………………………………………2分12sin(2)4x…………………………………………………4分()012sin(2)04fxx2sin(2)42x…………6分5222444kxk…………………………8分34kxk…………………………………………10分又[0,2].x∴37(0,)(,)44x………………………12分9．(05浙江卷)已知函数f(x)＝－3sin2x＋sinxcosx．(Ⅰ)求f(256)的值；(Ⅱ)设∈(0，)，f(2)＝41－32，求sin的值．解：(Ⅰ)251253sin,cos6262225252525()3sinsincos06666f(Ⅱ)331()cos2sin2222fxxx31313()cossin222242f011sin4sin162解得8531sin0sin),0(8531sina1．1sin4cos41sin4cos4（B）()Acot()Bcot2()Ctan()Dtan2a2．已知()1fxx，当53(,)42时，式子(sin2)(sin2)ff可化简为（D）()A2sin()B2cos()C2sin()D2cos3．222cos12tan()sin()441．课后作业课题：§三角函数的化简、求值与证明日期：2009年月日星期一、选择题1、已知1sin()43，则cos()4的值等于（D）A、223B、223C、13D、132、已知tan、tan是方程23340xx的两根，且(,)22、，则等于（B）A、3B、23C、3或23D、3或233、化简23cos(1sin)[2tan()]422cos()42xxxx为（B）A、sinxB、cosxC、tanxD、cotx4、（全国卷Ⅲ）22sin2cos1cos2cos2（B）(A)tan(B)tan2(C)1(D)125、（山东卷）函数0,01),sin()(12xexxxfx，若2)()1(aff，则a的所有可能值为（B）（A）1（B）22,1（C）22（D）22,1班级姓名题号123456789101112答案二、填空题6、（全国卷Ⅱ）设a为第四象限的角，若513sin3sinaa，则tan2a=_____43_________.7、（北京卷）已知tan2=2，则tanα的值为－34，tan()4的值为-718、已知tan()34，则2sin22cos的值为＿＿＿45＿