七年级下册三角形-平行线-轴对称-整式知识点总结及习题

第七章生活中的轴对称（知识点总结）一，基本概念1．轴对称图形，对称轴如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称图形不一定只有一条对称轴，但至少有一条。2.轴对称对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全的重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。3.轴对称和对称轴图形中的对称轴是直线，而不是线段和射线。4.轴对称的性质：1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2）对应线段相等，对应角相等。4．角平分的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。6.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。7.等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。8.等腰三角形性质：1）等腰三角是轴对称图形；2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高重合（三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3）等腰三角形的两个底角相等。（注意：等腰三角形的性质常用于说明两线段相等或两角相等）9.等腰三角形的判定方法：1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；2)有两条边相等的三角形是等腰三角形（等边对等角）。10.等边三角形：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。11.等边三角形的性质：1）等边三角形的三个内角均为600;2)等边三角形的三边相等。12.镜子成像的特点：1)物体与镜子平行时:左右互换是关键，物与像成轴对称，简单可以看反面。；2）物体与镜面垂直时:像的方向与物体的方向上下颠倒。第五章三角形（知识点总结）1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。用“△”表示三角形，以A、B、C为顶点的三角形记作“△ABC”。2三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。例：如果△ABC的三边分别为a、b、c,则：1）a+bc,a+cb,b+ca;2)▏c-a▏b,▏c-b▏a,▏a-b▏c.3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于1800。注意：三角形的三个内角中至少有两个是锐角，三角形的最大的角不小于600。4.直角三角形的基本性质：1)直角三角形的两个锐角互余;2)以A、B、C为顶点的直角三角形记作“Rt△ABC”。3)直角三角形的斜边大于任何一条直角边（依据是“垂线段最短”）。5.三角形按内角大小分为三类：1）锐角三角形；2）直角三角形；3）钝角三角形。6.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。7．角平分线的性质：1）角平分线上的点到角两边的距离相等；2）三角形有三条角平分线且三条角平分线交于三角形内部的一点。8.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。9.三角形中线的性质：1）三角形有三条中线.且他们相交于一点；2）三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。10.1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。2）特点：三角形有三条高，三条高所在的直线交于一点。3）钝角三角形三条高交点在三角形外部，直角三角形三条高交点在直角顶点，锐角三角形三条高交点在三角形内部。11.全等图形：两个能够重合的图形称为全等图形。12.全等三角形：能够完全重合的两个三角形是全等三角形。13.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。例如：△ABC与△A1B1C1全等，我们可以用符号“~”来连接，即△ABC~△A1B1C1；注意：用~来连接两个三角时，对应顶点字母要写在对应的位置上。14.判定一般三角形全等的四种方法：(边边边)SSS；（边角边）SAS;(角角边)AAS;(角边角)ASA15．直角三角形全等的判断方法五种：（斜边，直角边）HL;(边边边)SSS；（边角边）SAS;(角角边)AAS;(角边角)ASA.第二章平行线与相交线1.如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。（两角互余或者互补只与它们的大小有关，和位置没有关系）2.∠1和∠2互为对顶角，对顶角相等。（如图一）3．平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。4.同位角：两直线被第三条直线所截，两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁，这样一对角叫做同位角。（∠1和∠3）5．内错角：两直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的两旁，这样一对角叫做内错角。（∠2和∠3）6.同旁内角：两直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样一对角叫做同旁内角。（∠2和∠4）7.判断两直线平行的方法：1）判断定律（常用3条）：①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。③同旁内角互补，两直线平行。；2）利用平行线定义：在同一平面内，不相交的两直线平行。8.平行线的特征：①两直线平行，同位角相等。②两直线平行，内错角相等。③两直线平行，同旁内角互补。12图一图21234三角形，轴对称，平行线综合解题思路方法总结一，两条线段相等的四种证明方法：①证明两三角形全等[一般三角形全等四种：(边边边)SSS；（边角边）SAS;(角角边)AAS;(角边角)ASA;直角三角形再加（斜边，直角边）HL.通过全等三角形对应线段相等来说明线段相等）]；②线段的垂直平分线的性质：（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）;③角平分线的性质：（角平分线上的点到角两边的距离相等）；④等腰三角形的性质：（等角对等边）补充：⑤等于同一线段的两条线段相等二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。四、证明线段的和、差、倍、分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。五、证明角的和、差、倍、分1.作两个角的和，证明与第三角相等。2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。3.利用角平分线的定义。4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形辅助线做法技巧总结1.三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。例题讲解1.延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）在△DBE与△CAE中∵)()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）2、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）在△ABC与△CDA中∵)(43)()(21已证公共边已证CAAC∴△ABC≌△CDA（ASA）ABCD18图1234ABCDE17图O∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）3、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于点F。∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，∵)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=21CF（全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中)()()(已知＝已证已证ACABBFCBDACAFBAC∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE4、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。证明：连接BC，在△ABC和△DCB中19图DCBAEF12DCBA110图O∵)()()(公共边已知已知CBBCDBACDCAB∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形对应边相等)5、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求证：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵)()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN∴△ABN≌△DCN（SAS）∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形对应边、角相等）在△NBM与△NCM中∵)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NMNMCMBMNCNB∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。111图DCBAMN整式的运算（知识总结）§1.整式1.单项式：表示数与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。（数与字母的积）。例如：7a2b,─x53,0,y。①单项式中的数