不等关系和不等式

课时作业13不等关系与不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知a，b分别对应数轴上的A、B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是()A．a－b≤0B．a＋b0C．|a||b|D．a－b0【答案】D【解析】∵A在原点右侧，B在原点左侧，∴a0，b0，故a－b0.2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是()A．M≥NB．M≤NC．M＝ND．不能确定【答案】A【解析】2M－2N＝2x2＋2y2＋2－2x－2y－2xy＝x2－2xy＋y2＋x2－2x＋1＋y2－2y＋1＝(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2≥0，∴M≥N.3.如图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y(万元)与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销量之间的函数关系，(1)当销量________时，该公司赢利，(2)当销量________时该公司亏损．【答案】xa0≤xa【解析】当xa时，销量相同的情况下，销售收入大于销售成本，公司赢利；当0≤xa时，销量相同的情况下，销售收入小于销售成本，公司亏损．4．已知a、b为正实数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．【解析】方法一：直接作差：(ab＋ba)－(a＋b)＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a＋ba－b2ab.∵a、b为正实数，∴a＋b0，ab0，(a－b)2≥0.∴a＋ba－b2ab≥0.当且仅当a＝b时等号成立．∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．方法二：平方作差：(ab＋ba)2＝a2b＋b2a＋2ab，(a＋b)2＝a＋b＋2ab，∴(ab＋ba)2－(a＋b)2＝a2b＋b2a＋2ab－(a＋b＋2ab)＝a3＋b3－aba＋bab＝a＋ba2－ab＋b2－aba＋bab＝a＋ba－b2ab.∵a、b为正实数，∴a＋ba－b2ab≥0，于是(ab＋ba)2≥(a＋b)2.又ab＋ba0，a＋b0，∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．方法三：作商比较：ab＋baa＋b＝a3＋b3aba＋b＝a＋ba＋b－ababa＋b＝a＋b－abab＝a－b2＋abab＝1＋a－b2ab≥1，当且仅当a＝b时取等号．∵ab＋ba0，a＋b0，∴ab＋ba≥a＋b(当且仅当a＝b时取等号)．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列命题成立的个数是()①当x＝2时，x≥2一定成立；②当x≥2时，x＝2一定成立；③若x≥2且x≤2成立，则必有x＝2.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】①③正确，②错误．2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关【答案】A【解析】M－N＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋340，∴MN.3．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.v≤120km/hd≥10mC．v≤120(km/h)D．d≥10(m)【答案】B【解析】因为两个限制条件都要满足，应同时成立．4．设m＝x2＋y2－2x＋2y，n＝－5，则m，n的大小关系是()A．mnB．mnC．m＝nD．与x，y的取值有关【答案】A【解析】m－n＝x2＋y2－2x＋2y＋5＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3＞0∴m＞n.5．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A.x≥95y≥380z45B.x≥95y380z≥45C.x95y380z45D.x≥95y380z45【答案】D【解析】x不低于95分，即x≥95，y高于380分即y380，z超过45分，即z45，应选D.6．若a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac【答案】C【解析】方法一：易知a，b，c都是正值，ba＝2ln33ln2＝log891，所以ba；ac＝5ln22ln5＝log25321，所以ac.所以bac.方法二：首先比较a，b，即比较3ln2与2ln3的大小，∵3ln2＝ln23＝ln8ln9＝2ln3，∴ab，故排除B、D，同理可得ca，∴选C.7．已知c1，且x＝c＋1－c，y＝c－c－1，则x，y之间的大小关系是()A．xyB．x＝yC．xyD．x，y的关系随c而定【答案】C【解析】用作商法比较，由题意x，y0，∵xy＝c＋1－cc－c－1＝c＋c－1c＋1＋c1，∴xy.8．若mn，pq，且(p－m)(p－n)0，(q－m)(q－n)0，则m，n，p，q的大小关系是()A．mpqnB．pmqnC．mpnqD．pmnq【答案】A【解析】由mn，(p－m)(p－n)0，得mpn，同理，mqn.又∵pq，∴mpqn.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小顺序为________．【答案】bca【解析】解答本题可采用分子有理化的方法：b＝7－3＝47＋3，c＝6－2＝46＋2，a＝2＝422.∵226＋27＋3，∴acb即bca.10．已知一个两位数大于50且小于60，其个位数字x比十位数字y大2，试用不等式组表示上述关系．【答案】5≤y60x≤9x－y＝2x，y∈N【解析】由已知易知，十位数字y满足5≤y6，个位数字x满足x－y＝2，且0x≤9，x，y∈N.故用不等式组表示为5≤y60x≤9x－y＝2x，y∈N.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？【解析】若杂志的定价为x元，则销售的总收入为(8－x－2.50.1×0.2)x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式(8－x－2.50.1×0.2)x≥20.【规律方法】此题是从日常生活中提炼出来的，很具有现实意义．故而，不等关系以及不等式的应用在我们现实生活中很有用．它不仅能表示出客观事物的某些数量之间的关系，而且能帮助我们解决实际问题，因而很有必要去学习和研究．12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．【解析】f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx(3x)－logx4＝logx3x4.(1)当x43时，logx3x40，故f(x)g(x)；(2)当x＝43时，logx3x4＝0，故f(x)＝g(x)；(3)当1x43时，logx3x40，所以f(x)g(x)；(4)当0x1时，logx3x40，所以f(x)g(x)．综上知：当x43或0x1时，f(x)g(x)；当1x43时，f(x)g(x)；当x＝43时，f(x)＝g(x)．