三角函数试题及其答案

高考数学精选模拟试题分类汇编三角函数1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)在ABC中，已知内角3A，边23BC.设内角Bx,面积为y.(1)求函数()yfx的解析式和定义域；(2)求y的最大值.解：（1）ABC的内角和ABC3A203Bsin4sinsinBCACBxA12sin43sinsin()23yABACAxx2(0)3x（2）y23143sinsin()43sin(cossin)322xxxxx26sincos23sinxxx723sin(2)3,(2)6666xx当262x即3x时，y取得最大值33………………………14分2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知a＝(cos，sin)，b＝(cos，sin)，其中0＜＜＜．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的长度相等，求－的值(k为非零的常数)．解：(1)由题意得：a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)∴(a＋b)·(a－b)＝(cosα＋cosβ)(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)(sinα－sinβ)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0∴a＋b与a－b互相垂直．(2)方法一：ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)|ka＋b|＝1)cos(22kk，|a－kb|＝1)cos(22kk由题意，得4cos(β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π，所以β－α＝2．方法二：由|ka＋b|＝|a－kb|得：|ka＋b|2＝|a－kb|2即(ka＋b)2＝(a－kb)2，k2|a|2＋2kab＋|b|2＝|a|2－2kab＋k2|b|2由于|a|＝1，|b|＝1∴k2＋2kab＋1＝1－2kab＋k2，故ab＝0，即(cos，sin)(cos，sin)＝010分0)cos(0sinsincoscos因为0＜α＜β＜π，所以β－α＝2．3、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知3sin22BA+cos22BA=2,(cosA•cosB≠0)，求tanAtanB的值。答案：124、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知函数xxxxxf22sinsincos2cos3)(．（Ⅰ）求)(xf的最大值，并求出此时x的值；（Ⅱ）写出)(xf的单调递增区间．解：（Ⅰ）xxxxxf22sinsincos2cos3)(22cos12sin22cos13xxxxx2cos2sin22)42sin(2x………………………（6分）当kx2242，即8kx)(Zk时，)(xf取得最大值22.……………………（8分）（Ⅱ）当kxk224222，即883kxk)(Zk时，所以函数)(xf的单调递增区间是]8,83[kk)(Zk．………（12分）5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知ABC中，1||AC，0120ABC，BAC，记BCABf)(，（1）求)(f关于的表达式；（2）求)(f的值域；解：（1）由正弦定理有：)60sin(||120sin1sin||00ABBC；∴sin120sin1||0BC，00120sin)60sin(||AB；∴BCABf)(21)60sin(sin340sin)sin21cos23(32)30(61)62sin(31（2）由6562630；∴1)62sin(21；∴)(f]61,0(6、(江西省五校2008届高三开学联考)已知向量],2[),2cos),122(cos(),2cos),122(sin(xxxbxxa，函数ＡＢＣ120°baxf)(.（I）若53cosx，求函数)(xf的值；（II）将函数)(xf的图象按向量c＝)0)(,(mnm平移，使得平移后的图象关于原点对称，求向量c.解：由题意，得2cos)122cos()122sin()(2xxxxf21)cos21sin23(2121cos41sin43)cos1(21)6sin(21xxxxxx.21)6sin(21x………………………………………………………………5分（1）54sin,53cos],,2[xxx，.2075321cos41sin43)(xxxf…………………………………7分（2）由图象变换得，平移后的函数为21)6sin(21)(nmxxg，而平移后的图象关于原点对称，0210)0(ng且，………………9分即65,0,210)6sin(mmnm且，即)21,65(c.7、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知函数2()123sincos2cosfxxxx，（1）求函数)(xf的最小正周期；（2）求函数)(xf的单调减区间；（3）画出函数]125,127[),()(xxfxg的图象，由图象研究并写出)(xg的对称轴和对称中心.解：（1）()3sin2cos22sin(2)6fxxxx，22T（2）由3222()262kxkkZ得263kxk，127125412x02-21-1124125所以，减区间为2[,]()63kkkZ（3）()gx无对称轴，对称中心为（,012）8、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且.21222acbca（1）求BCA2cos2sin2的值；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．解：(1)由余弦定理：conB=14sin22AB+cos2B=-14（2）由.415sin,41cosBB得∵b=2，a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤38,S△ABC=12acsinB≤315(a=c时取等号)故S△ABC的最大值为3159、(四川省成都市一诊)在ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量2sin,3mB，2cos2,2cos12BnB，且//mn。（I）求锐角B的大小；（II）如果2b，求ABC的面积ABCS的最大值。(1)解：m∥n2sinB(2cos2B2－1)＝－3cos2B2sinBcosB＝－3cos2Btan2B＝－3……4分∵0＜2B＜π,∴2B＝2π3,∴锐角B＝π3……2分(2)由tan2B＝－3B＝π3或5π6①当B＝π3时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)……3分∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝34ac≤3∴△ABC的面积最大值为3……1分②当B＝5π6时，已知b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2＋3ac≥2ac＋3ac＝(2＋3)ac(当且仅当a＝c＝6－2时等号成立)∴ac≤4(2－3)……1分∵△ABC的面积S△ABC＝12acsinB＝14ac≤2－3∴△ABC的面积最大值为2－3……1分注：没有指明等号成立条件的不扣分.10、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知向量3cos2,1,1,sin2,,maxnbaxabR，集合2cos2,22Mxxx，若函数()fxmnxM在时，取得最大值3，最小值为－1，求实数,ab的值答：()2cos2,6fxaxb5414,,3333abab或；11、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数2()[2sin()sin]cos3sin,3fxxxxxxR(1)求函数()fx的最小正周期；(2)若存在05[0,]12x，使不等式0()fxm成立，求实数m的取值范围.本题考查三角函数的基本性质及其运算，给定区间内不等式恒成立问题.解析：(1)2()[2(sincoscossin)sin]cos3sin33fxxxxxx222sincos3cos3sinxxxxsin23cos2xx2sin(2)3x……………………4分∴函数f(x)的最小正周期22T……………………6分(2)当5[0,]12x时，72[,]336x∴当7236x，即512x时，f(x)取最小值－1………9分所以使题设成立的充要条件是5()12fm，故m的取值范围是(－1,＋∞)12、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f(x)=2cosx(cosx+3sinx)－1,x∈R(1)求f(x)的最小正周期T；(2)求f(x)的单调递增区间.解：)62sin(22cos2sin3cossin322cos)(xxxxxxxf…………6分（1）22T.…………9分（2）由2k–22x+62k+2,得：k–3xk+6（kZ）,f(x)单调递增区间是[k–3，k+6]（kZ）13、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)若函数2()sinsincos(0)fxaxaxaxa的图象与直线ym相切，并且切点的横坐标依次成公差为2的等差数列。(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)若点0,0()Axy是()yfx图象的对称中心，且0[0,]2x,求点A的坐标。解：(Ⅰ)21cos2121()sinsincossin2sin(2)22242axfxaxaxaxaxax……3分由题意知，m为()fx的最大值或最小值，所以122m或122m.………………6分(Ⅱ)由题设知，函数()fx的周期为2，∴2a……………………………………8分∴21()sin(4)242fxx.令sin(4)04x,得4()4xkkZ,∴()416kxkZ,由0()4162kkZ，得1k或2k，因此点A的坐标为31(,)162或71(,)162.14、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知xR，向量2(cos,1),(2,3sin2)OAaxOBaxa，()fxOAOB，0a.(Ⅰ)求函数)(xf解析式，并求当a0时，)(xf的单调递增区间；(Ⅱ)当]2,0[x时,)(xf的最大值为5，求a的值.解：(Ⅰ)2()2cos3sin2fxaxaxa………………………………2分3sin2cos2axax………………………………………………4分2sin(2)6ax.………………………………………………6分222(),262()36kxkkkxkk当时即时ppppppppp-???-＃+?ZZ.()(),()6fxfxkkk为增函数,即的增区间为-3pppp轾犏+?犏臌Z………………9分(Ⅱ)()2sin(2)6fxax，当]2,0[x时，72[,]666x.若0,262axpp+=当时,()fx最大值为25a，则52a.………11分若)(,6762,0xfxa时当的最大值为5a,则5a.15、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知向量a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），