3.1.2-两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定平面内两条直线有哪些位置关系？平行或相交能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？xyO.为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件.（重点）2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）3.通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．xyOl212时，k与k满足什么关系？1l2l21∥即12k=kllll1212∥,或与重合ll1212设两条直线,的斜率分别为思考1k,k，12k=k12α=αl1提示：探究点1两条直线平行与斜率的关系ll12设两条直线,的斜率思都考2不存在，ll12两直线与有何位置关系？1xyO2提示：斜率均不存在的两条直线平行或重合.1l2l一、两条直线平行的判定特别地，两直线的倾斜角都为90°时，它们互相平行或重合..ll1212k=k公式成立的条件：①两直线不重合；②两直线的斜率均存在.xyO1l2l设两条直线与的斜率分别为，1l2l2,k1k下列说法正确的有()①若两直线斜率相等,则两直线平行;②若l1∥l2,则k1=k2;③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交;④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个【即时训练】A例1已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.解:直线BA的斜率BA3-01k==,2-（-4）2PQ2-11k==,-1-(-3)2直线PQ的斜率因为所以线BAPQk=k,直BA∥PQ.直线l平行于经过两点A(－4,1)，B(0,－3)的直线，则直线的倾斜角为()A．30°B．45°C．120°D．135°D【变式练习】例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.因为所以所以边边ABCDBCDA1k=k=-,23k=k=,2ABCD,BCDA.四形ABCD是平行形解四.：分析：判断两组对边是否分别平行.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若l1∥l2,则a的值为()A.-2B.2C.0D.12【变式练习】Ayl1Oxl2α1α2ll1212设两条直线,的斜率分别为k思3,k考,ll1212⊥时，k与k满足什么关系？图o21o21112如，α=α+90，1tanα=tan(α+90)=-,tanα即kk=-1.12121.llkk反之，成立,可得提示：探究点2两条直线垂直与斜率的关系ll112设两条直线的斜思考率k=0,的4斜率不存在,ll12⊥吗？1lxyo2l若一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,则两直线互相垂直.ll12⊥提示：二、两条直线垂直的判定ll1212设两条直线与的斜率分别为k,k，ll1212⊥kk=-1.特别地：一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.yl1Oxl2两直线的斜率均存在.直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1=______；若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=_______.解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan30°=因为l1∥l，所以k1=k=.因为l2⊥l,所以k2·k=-1,答案：3321k3.k所以33333，【即时训练】例3已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.解：直线AB的斜率AB6-02k==,3-（-6）3PQ-6-33k==-,6-02直线PQ的斜率因为所以线ABPQkk=-1,直AB⊥PQ.分析：分别求出两直线的斜率，观察斜率之间的关系.若直线l经过点(a-2,-1)和点(-a-2,1)且与经过点(-2，1)，斜率为的直线垂直，则实数a的值为____________.2323【变式练习】例4已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状.分析：结合图形可猜想AB⊥BC，△ABC为直角三角形.线AB1直AB的斜率k解=-：,2线BC直BC的斜率k=2,因为所以线，所以oABBCkk=-1,直AB⊥BC即∠ABC=90,ΔABC是直角三角形.判断下列各对直线平行还是垂直：（1）经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为-1的直线l2.（2）经过两点C（3,1），D（-2,0）的直线l3，与经过点M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.解：（1）垂直.（2）垂直.【变式练习】1.(2014·吉林高一检测)已知过点A(a,b)与B(b-1,a+1)的直线l1与直线l2平行,则l2的斜率为()A.1B.-1C.不存在D.0【互动探究】若本题条件“平行”换为“垂直”,其他条件不变,其结论又如何呢?B2.(2015·蚌埠高一检测)顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(4,3),D(-2,1)四点所组成的图形是()A.矩形B.正方形C.平行四边形D.直角梯形【解题关键】利用直线的斜率计算公式,由斜率判断出两条直线的位置关系.C3.若两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线都与x轴()A.垂直B.相交C.平行D.答案不确定AA.3B．－3C.33D．－334．直线l1的倾斜角为30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为()B5．原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则l的斜率为___.2解析：kOP＝1－2＝－12，则kl＝2.6.直线和直线平行的条件是。046+Cyx012yAxA=3且C≠-27.已知点A(-2，-5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，试求点P的坐标．即解得b＝7或b＝－6.所以点P的坐标为(0,7)或(0，－6)．解：设点P的坐标为(0，b)，则kAP·kBP＝－1，b(5)b61,0(2)068.已知A(1，2),B(-1,0),C(3,4)三点，这三点是否在同一条直线上，为什么？线线因为两线点所以点线ABBCABBC0-2直AB的斜率k==1;-1-14-0直BC的斜率k==1.3-（-1）k=k,且直有公共B,三解共：.分析：证明两直线斜率相等且有公共点.两条直线的位置关系平行垂直斜率判定斜率判定斜率相等截距不等斜率乘积是-1不是什么人都可以交往的，慎交朋友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心。