§1.6晶体的对称性

1§1.6晶体的特殊对称性对称操作一、转动本节主要介绍四种基本的操作——转动、反演、镜象、象转轴。1.转动对称操作设晶体外形为一立方体，沿图中所示转轴转动900，外形与原来重合。这样的转动称为转动对称操作。该轴称为转动轴。如果转动1800等晶体都保持外形重合。转动轴22.转动对称操作的种类由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。AB是晶列上最近邻两格点的距离。)cos21(coscosABABBAABABnABB1ABA1BA是整数。nn21cos3。，，，，只能取值：，，且101231cos121cosnn1;-0123:n1-0.5-00.51:cos32230:2232426212)(n转轴。度次为分别称6432164321，，，，。，，，，n243.n度旋转对称轴(rotationaboutanaxis)(1)定义晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3，4，6。晶体不能有5度或6度以上的转轴。(2)对称轴表示方式①熊夫利(Schoenfliesnotation)符号表示C1、C2、C3、C4、C6。②国际符号(Internationalnotation)表示1、2、3、4、6。54.对称轴度数符号表示度数n2346符号65.长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列。正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列。7二、中心反演(中心反映)1.中心反演如图所示，有对称心i，晶体中任一点A过中心i连线Ai并延长到A'，使Ai=A'i,A与A'是等同点，i点称为对称心。AAizyx,,zyx,,2.表示方式(1)熊夫利符号表示——i;(2)国际符号表示——例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。18三、镜象(镜面反映、对称面)1.镜象如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。AAOxyzzyx,,zyx,,O-xy相当于镜面。AA2.表示方式(1)熊夫利符号表示——;(2)国际符号表示——m。9四、n度旋转—反演轴(象转轴)1.象转轴(1)定义先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。(2)符号表示64321，，，，2.n度象转轴简析n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分析，可以得到象旋转轴只有是独立的。410(1)象转轴——实际上就是对称心i。1)(对称心Ox)(轴uzyzyx,,Azyx,,AA点绕旋转轴(z轴)旋转3600，在经过中心反演到A'点，晶体完全重合。实际上即为中心反演11(2)象转轴——实际上就是对镜象m。2Azyx,,)(对称心Ox)(轴uzyAzyx,,zyx,,A和O-xy对称面的操作相当。1213(3)象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i)312345123465614(3)象转轴——实际上就是6度转轴＋对称心(i)612465132345615(3)象转轴411324234161234412317结论：晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作：1，2，3，4，6，,m,。这些基本的操作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观操作类型。41464321S,i,,C,C,C,C,C熊夫利符号：18五、晶体的微观对称操作1.n度螺旋轴晶体绕u轴每转2/n角度后，再沿该轴的方向平移T/n的l倍，则晶体中的原子和相同的原子重合(其中l为小于n的整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身重合。1234A1A2A3A4A192.滑移反映面经过该面的镜象操作以后,再沿平行于该面的某个方向平移T/n的距离(T是该方向上的周期矢量，n为2或4)，晶体中的原子和相同的原子重合。A1A2AA2AMM1A20(1)三个相互垂直的四度轴例题1：立方系的对称性简析。21(2)四个三度轴(空间对角线)22(3)六个2度轴23(5)六个和2度轴垂直的对称面(4)三个和四度轴垂直的对称面24例题2：金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作四个原子位于正四面体的四个顶角上251.绕三个立方轴转动262.绕4个立方体对角线轴转动3432,273.绕三个立方轴转动23,2加中心反演284.绕6条面对角线轴转动加上中心反演29例题3正六面柱的对称性分析1.绕中心轴线转动35,34,,32,3——5个3.绕相对面中心连线转动π——3个4.正交变换——1个5.以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作——正六面柱的对称操作有24个2.绕对棱中点连线转动π——3个30