量词课时作业

课时作业2量词时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是()A．真命题B．全称命题C．存在性命题D．不含量词的命题【答案】B【解析】命题中含有“任一”全称量词．2．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二·一班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小【答案】C【解析】“高二·一班绝大多数同学是团员”是存在性命题．3．命题“存在实数x，使x＋10”可写成()A．若x是实数，则x＋10B．∃x∈R，x＋10C．∀x∈R，x＋10D．以上都不对【答案】B【解析】由存在性命题的表示形式可知，选项B正确．4．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数，使1x2【答案】B【解析】A选项是全称命题，所以A不正确；3＋(－3)＝0，所以C不正确；对任意负数x，都有1x02，所以D不正确；存在实数x＝0，使x2＝0，所以B正确．5．给出下列命题：①∀x∈R，有x4x2；②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a0.其中为真命题的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin3α＝3sinα成立；③中，由于抛物线开口向上，因此一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，显然为假命题．6．下列四个命题中，为真命题的是()A．∀x∈R，x2＋30B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x51D．∃x∈Q，x2＝3【答案】C【解析】由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋30”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x51，所以命题“∃x∈Z，使x51”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．二、填空题(每小题10分，共30分)7．下列命题中的假命题的序号是________．①∃x∈R，lgx＝0②∃x∈R，tanx＝1③∀x∈R，x30④∀x∈R,2x0【答案】③【解析】对于①，当x＝1时，lgx＝0，为真命题；对于②，当x＝π4时，tanx＝1，为真命题；对于③，当x0时，x30，为假命题；对于④，由指数函数性质知，∀x∈R,2x0为真命题，故选③.8．下列命题为真命题的是________．①若a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0；②对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2；③∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|；④∃x∈R，使x2－3x＋2＝0.【答案】①③④【解析】①当a0且a≠1时，ax0恒成立，∴①为真命题．②存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，∴命题②是假命题．③y＝|sinx|是周期函数，π是它的一个周期，∴命题③是真命题．④当x＝1时，x2－3x＋2＝0，∴命题④是真命题．9．(1)若对∀x∈R，使sinxa成立，则实数a的取值范围是________．(2)若∃x∈R，使sinxa成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)(－∞，－1)(2)(－∞，1)【解析】(1)对∀x∈R，－1≤sinx≤1，要使sinxa对一切x∈R成立，则a－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)．(2)若∃x∈R，使sinxa成立，则a1即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1)．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．(1)∃x∈R，x－2≤0；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)凡三角形两边之和大于第三边；(4)有些质数是奇数．【解析】(1)存在性命题．x＝2时，x－2＝0成立．所以，存在性命题“∃x∈R，x－2≤0”是真命题；(2)全称命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直．所以，全称命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题；(3)全称命题．三角形中，两边之和大于第三边．所以，全称命题“凡三角形两边之和大于第三边”是真命题．(4)存在性命题.3是质数，3也是奇数．所以，存在性命题“有些质数是奇数”是真命题．11．(13分)判断下列命题的真假．(1)∀x∈N，x20；(2)∀a，b∈R，a2＋b2≥a＋b22；(3)∃x∈Z，－x2＋2x＋3≥0；(4)∃α∈R，sinα＋cosα＝1.【解析】(1)假命题，当x＝0时，x2＝0.(2)真命题，∵a2＋b2－a＋b22＝a2＋b2－a2＋2ab＋b22＝a2－2ab＋b22＝a－b22≥0，∴a2＋b2≥a＋b22.(3)真命题，由－x2＋2x＋3≥0，得x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，∴当x＝－1,0,1,2,3时，使得－x2＋2x＋3≥0.(4)真命题，当α＝π2时，sinα＋cosα＝1.【总结】要判定全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立，要判定全称命题是假命题，只要举出集合M中有一个x＝x0使p(x0)不成立即可；要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使q(x0)成立即可，如果在集合M中，使q(x)成立的元素不存在，那么这个存在性命题就是假命题．12．(14分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f(x)≤1＋x22对任意x∈R均成立？【解析】假设存在常数a，b，c，使不等式x≤f(x)≤1＋x22对任意x∈R均成立．因为f(x)的图象过点(－1,0)，所以a－b＋c＝0.①因为x≤f(x)≤1＋x22对任意x∈R均成立，所以当x＝1时也成立，即1≤a＋b＋c≤1.故a＋b＋c＝1②由①②可知b＝12，c＝12－a，所以f(x)＝ax2＋12x＋12－a，故x≤ax2＋12x＋12－a≤1＋x22对任意x∈R均成立．即ax2－12x＋12－a≥01－2ax2－x＋2a≥0对任意x∈R恒成立，所以Δ1≤0，Δ2≤0，a0，1－2a0，即14－4a12－a≤0，1－8a1－2a≤0，a0，1－2a0.所以a＝14，c＝12－a＝14.故存在一组常数a＝14，b＝12，c＝14使命题成立．【总结】本题属于探索性题目，常用的解答方法是先假设结论成立，然后利用自变量特殊值得到待定常数a，b，c的关系式，求得a，b，c之后再进行验证即可．