章末检测试卷(三)

章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈SB．i2∈SC．i3∈SD.2i∈S答案B2．设z1，z2为复数，则下列结论中正确的是()A．若z21＋z22＞0，则z21＞－z22B．|z1－z2|＝z1＋z22－4z1z2C．z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0D．z1－z1是纯虚数或零答案D解析举例说明：若z1＝4＋i，z2＝2－2i，则z21＝15＋8i，z22＝－8i，z21＋z22＞0，但z21与－z22都是虚数，不能比较大小，故A错；因为|z1－z2|2不一定等于(z1－z2)2，故|z1－z2|与z1＋z22－4z1z2不一定相等，B错；若z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z21＝3＋4i，z22＝－3－4i，z21＋z22＝0，但z1＝z2＝0不成立，故C错；设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z1＝a－bi，故z1－z1＝2bi，当b＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数．3．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D答案B解析由共轭复数的定义可得．4．复数2－i31－2i等于()A．iB．－iC．22－iD．－22＋i答案A解析2－i31－2i＝2＋i1－2i＝2＋ii1－2ii＝2＋ii2＋i＝i.5.z是z的共轭复数．若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i是虚数单位)，则z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i答案D解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋z＝2a＝2，得a＝1.(z－z)i＝2bi2＝2，得b＝－1，∴z＝1－i.6．设复数z满足1－z1＋z＝i，则|1＋z|的值为()A．0B．1C.2D．2答案C解析由1－z1＋z＝i，得z＝1－i1＋i＝－i，∴|1＋z|＝|1－i|＝2.7．已知f(n)＝in－i－n(n∈N＋)，则集合{f(n)}的元素个数是()A．2B．3C．4D．无数个答案B解析f(n)有三个值0,2i，－2i.8．已知关于复数z＝21＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p4C．p2，p4D．p3，p4答案D解析z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i，p1：|z|＝1＋－12＝2.p2：z2＝(1－i)2＝－2i.p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.9．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(0,1)，B(－1,3)，则z2z1等于()A．3＋iB．3－iC．－1＋3iD．－3－i答案A解析z1＝i，z2＝－1＋3i，z2z1＝－1＋3ii＝3＋i.10．已知z是复数z的共轭复数，z＋z＋z·z＝0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案A解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋z＝2x，z·z＝x2＋y2，所以由z＋z＋z·z＝0，得x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，故选A.11．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则a＋i20161＋i的值为()A．1B．0C．1＋iD．1－i考点题点答案D解析复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，可得a＝1，a＋i20161＋i＝1＋11＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i.12．定义运算abcd＝ad－bc，则符合条件z1＋2i1－i1＋i＝0的复数z的共轭复数z对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意可得定义运算abcd＝ad－bc，所以z1＋2i1－i1＋i＝z(1＋i)－(1＋2i)(1－i)＝0，代入整理可得(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，解得a＝2，b＝－1，所以z＝2－i，所以z＝2＋i，所以复数z的共轭复数z对应的点在第一象限．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．答案(3,4)解析∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴m2－4m0，m2－m－60，解得3m4.14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．答案83解析z1z2＝a＋2i3－4i＝a＋2i3＋4i3－4i3＋4i＝3a＋4ai＋6i－825＝3a－825＋4a＋625i，∵z1z2为纯虚数，∴3a－825＝0，4a＋625≠0，∴a＝83.15．已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a，b∈R)，若|z1|z2，则b的取值范围为________．答案(－1,1)解析由题意知，a＝0，故z1＝bi，z2＝1.∵|z1|z2，∴|bi|1，∴－1b1.16．下列说法中正确的是________．(填序号)①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有2x－1＝y，1＝－3－y；②2＋i1＋i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z＝1i，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤解析由y∈∁CR知y是虚数，则2x－1＝y，1＝－3－y不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝1i3＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时：(1)z是实数；(2)z是纯虚数．解(1)要使复数z为实数，需满足m2－2m－20，m2＋3m＋2＝0，解得m＝－2或m＝－1.即当m＝－2或m＝－1时，z是实数．(2)要使复数z为纯虚数，需满足m2－2m－2＝1，m2＋3m＋2≠0，解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．18．(12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝15－5i2＋i2.求：(1)z1z2；(2)z1z2.解z2＝15－5i2＋i2＝15－5i3＋4i＝15－5i3－4i3＋4i3－4i＝25－75i25＝1－3i，则(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z1z2＝2－3i1－3i＝2－3i1＋3i1－3i1＋3i＝11＋3i10＝1110＋310i.19．(12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z.(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标；(2)求1＋i23＋4i22z的共轭复数．解(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由已知，得x2＋y2＝1＋3i－(x＋yi)＝(1－x)＋(3－y)i.由x2＋y2＝1－x，0＝3－y，得x＝－4，y＝3，所以z＝－4＋3i.其在复平面上对应的点的坐标为(－4,3)．(2)由(1)知z＝－4＋3i，所以1＋i23＋4i22z＝2i×9＋24i－162－4＋3i＝24＋7i4－3i＝24＋7i4＋3i4－3i4＋3i＝75＋100i25＝3＋4i，共轭复数为3－4i.20．(12分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.21．(12分)已知复数z＝－1＋3i1－i－1＋3ii，ω＝z＋ai(a∈R)，当ωz≤2时，求a的取值范围．解因为z＝－1＋3i1－i－1＋3ii＝1＋ii＝1－i，所以|z|＝2.又ωz≤2，所以|ω|≤2.而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i(a∈R)，则12＋a－12≤2⇒(a－1)2≤3，所以－3≤a－1≤3，1－3≤a≤1＋3.22．(12分)求同时满足下列条件的所有的复数z.(1)z＋10z∈R，且1z＋10z≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．解设z＝x＋yi(x，y∈Z)，则z＋10z＝x1＋10x2＋y2＋y1－10x2＋y2i.因为z＋10z∈R，所以y1－10x2＋y2＝0.所以y＝0或x2＋y2＝10.又1z＋10z≤6，所以1x1＋10x2＋y2≤6.①当y＝0时，可以化为1x＋10x≤6，当x0时，x＋10x0，当x0时，x＋10x≥2106，故当y＝0时，无解．②当x2＋y2＝10时，可化为12x≤6，即12x≤3.因为x，y∈Z，故可得z＝1＋3i或z＝1－3i或z＝3＋i或z＝3－i.