选修2-2微积分定理课时作业

课时作业10微积分基本定理时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1.0acosxdx的值是()A．cosaB．－sinaC．cosa－1D．sina【答案】D【解析】0acosxdx＝sinx|a0＝sina－sin0＝sina.2．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则12f(－x)dx的值等于()A.56B.12C.23D.16【答案】A【解析】∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，故12f(－x)dx＝12(x2－x)dx＝(13x3－12x2)21＝56.3．自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为()A.13gt20B．gt20C.12gt20D.16gt20【答案】C【解析】路程s＝∫t00v(t)dt＝∫t00gtdt＝12gt2t00＝12gt20.故选C.4．(2014·山东理)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．22B．42C．2D．4【答案】D【解析】如图所示由y＝4x，y＝x3.解得x＝2，y＝8，或x＝－2，y＝－8.∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S＝02(4x－x3)dx＝(2x2－x44)|20＝8－4＝4.5．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a等于()A．6B．4C．3D．2【答案】D【解析】取F(x)＝x2＋lnx，则F′(x)＝2x＋1x，∴1a2x＋1xdx＝F(a)－F(1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，代入验证知a＝2.故选D.6．设f(x)＝x20≤x12－x1x≤2，则02f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在【答案】C【解析】02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx，取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x，∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故选C.二、填空题(每小题10分，共30分)7．计算：-22(sinx＋2)dx＝________.【答案】8【解析】-22(sinx＋2)dx＝(－cosx＋2x)2-2＝(－cos2＋4)－[－cos(－2)＋2×(－2)]＝8.8．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(12，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．【答案】54【解析】设直线为y＝kx＋b，代入点B的坐标，∴y＝10x.代入B，C两点的坐标，则5＝12k＋b0＝k＋b，∴k＝－10，b＝10.∴y＝10x0≤x≤12－10x＋1012x≤1，∴f(x)＝10x20≤x≤12－10x2＋10x12x≤1.9．若a＝02x2dx，b＝02x3dx，c＝02sinxdx，则a、b、c大小关系是________．【答案】cab【解析】a＝02x2dx＝13x3|20＝83；b＝02x3dx＝14x4|20＝4；c＝02sinxdx＝－cosx|20＝1－cos2＜2.∴c＜a＜b.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)计算下列定积分：【解析】【总结】微积分基本定理把被积函数的定积分计算问题化成了求被积函数的原函数问题．这就要求对导数的计算公式会进行逆运算．对这类定积分，一般是运用降幂公式，再结合定积分的性质来计算．对含有绝对值的定积分，要先去掉绝对值符号，再据定积分的可加性进行计算．有些题目，如本题中的(1)题，先化简，然后再求定积分比较简单．11．(13分)(1)求由曲线y＝x2与直线x＋y＝2围成图形的面积；(2)求曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1围成图形的面积．【分析】本题主要考查了利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积，解题的关键是确定被积函数．【解析】(1)如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组y＝x2，x＋y＝2，得x＝1，y＝1，或x＝－2，y＝4.即两个交点为(1,1)，(－2,4)．则所求面积S为S＝-21[(2－x)－x2]dx＝(2x－12x2－13x3)1-2＝92.(2)如图，由y＝ex，y＝e－x，解得交点为(0,1)．所求面积为S＝01(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)10＝e＋1e－2.12．(14分)变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置．【解析】当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1t≤2时，v(t)0.所以前2秒内所走过的路程s＝01v(t)dt＋12[－v(t)]dt＝01(1－t2)dt＋12(t2－1)dt.取F1(t)＝t－13t3，F2(t)＝13t3－t，则F1′(t)＝1－t2，F2′(t)＝t2－1，∴s＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝1－13＋83－2－13＋1＝2，2秒末所在的位置x1＝x0＋02v(t)dt＝1＋02(1－t2)dt＝1＋F1(2)－F1(0)＝13，故它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在的位置为13.【总结】做变速运动的物体所经过的路程s，等于其速度v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的积分，即s＝abv(t)dt.当v(t)≤0时，s＝－abv(t)dt.解题时要注意路程与位移的区别．