选修2-2导数的四则运算课时作业

课时作业5导数的四则运算法则时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y＝sinx(1－cosx)的导数y′等于()A．cosx＋cos2xB．cosx－cos2xC．sinx＋cos2xD．cos2x＋cos2x【答案】B【解析】y′＝(sinx)′(1－cosx)＋sinx(1－cosx)′＝cosx(1－cosx)＋sinx(0＋sinx)＝cosx－(cos2x－sin2x)＝cosx－cos2x.2．函数f(x)＝1x3＋2x＋1的导数是()A.1x3＋2x＋12B.3x2＋2x3＋2x＋12C.－3x2－2x3＋2x＋12D.－3x2x3＋2x＋12【答案】C【解析】f′(x)＝－x3＋2x＋1′x3＋2x＋12＝－3x2－2x3＋2x＋12.3．(2014·全国大纲)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1【答案】C【解析】本题考查了导数的应用和直线方程．点(1,1)在曲线上，对y求导得y′＝ex－1＋xex－1，所以在点(1,1)处的切线的斜率为k＝2.曲线上某一点的导函数值，就是过该点的切线的斜率．4．若函数y＝sin2x，则y′等于()A．sin2xB．2sinxC．sinxcosxD．cos2x【答案】A【解析】∵y＝sin2x＝12－12cos2x∴y′＝12－12cos2x′＝sin2x.故选A.5．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0B.π4C．1D.π2【答案】B【解析】f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx＋ex(－sinx)＝ex(cosx－sinx)，则函数f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为k＝f′(0)＝e0(cos0－sin0)＝1，故切线的倾斜角为π4，故选B.6．设点M(a，b)是曲线C：y＝12x2＋lnx＋2上的任意一点，直线l是曲线C在点M处的切线，那么直线l的斜率的最小值为()A．－2B．0C．2D．4【答案】C【解析】由题可得y′＝x＋1x，∴曲线C：y＝12x2＋lnx＋2在点M(a，b)处的切线l的斜率为k＝a＋1a.又∵a0，∴斜率k＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1时，等号成立，∴直线l的斜率的最小值为2，故选C.二、填空题(每小题10分，共30分)7．函数y＝xsinx－cosx的导数为____________．【答案】2sinx＋xcosx【解析】y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.8．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．【答案】4x－4y－1＝0【解析】y＝x2的导数为y′＝2x.设切点M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.∵PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝12.∴切点M为(12，14)．∴切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.9．在曲线y＝4x2上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．【答案】(2,1)【解析】设P(x0，y0)，∵y′＝4x2′＝(4x－2)′＝－8x－3，tan135°＝－1，∴－8x－30＝－1.∴x0＝2，y0＝1.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)求下列函数的导数：(1)y＝x5＋x7＋x9x；(2)y＝sin4x4＋cos4x4；(3)y＝x2－1x2＋1.【分析】对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错．可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数．(1)约分化简成和的形式；(2)利用三角恒等变换公式化简；(3)拆，分离常数．【解析】(1)∵y＝x5＋x7＋x9x＝x2＋x3＋x4，∴y′＝2x＋3x2＋4x3.(2)∵y＝sin4x4＋cos4x4＝(sin2x4＋cos2x4)2－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.(3)y＝x2－1x2＋1＝x2＋1－2x2＋1＝1－2x2＋1＝1－2(x2＋1)－1，∴y′＝[1－2(x2＋1)－1]′＝0－(－2)(x2＋1)－2(x2＋1)′＝2(x2＋1)－2·2x＝4xx2＋12.【规律方法】对于较复杂的函数式求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．11．(13分)设y＝8sin3x，求曲线在点Pπ6，1处的切线方程．【解析】∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，∴曲线在点Pπ6，1处的切线的斜率k＝y′|x＝π6＝24sin2π6·cosπ6＝33.∴适合题意的曲线的切线方程为y－1＝33x－π6，即63x－2y－3π＋2＝0.12．(14分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，且f(2x＋1)＝4g(x)，f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求a，b，c，d的值．【分析】关键是先根据多项式恒等，找出a，b，c，d的关系式，再根据导数相等及f(5)＝30，求得a，b，c，d的具体值．【解析】∵f(2x＋1)＝4g(x)，∴4x2＋(4＋2a)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.于是有4＋2a＝4c，①a＋b＋1＝4d，②由f′(x)＝g′(x)得2x＋a＝2x＋c，即a＝c.③由①③得a＝c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋b.又∵f(5)＝30，即25＋10＋b＝30，解得b＝－5.将b＝－5代入②，得d＝－12.∴a＝2，b＝－5，c＝2，d＝－12.【规律方法】利用求导公式与四则运算法则，并结合函数的对称性、单调性等，便能够准确求出函数的解析式或其参变量的值．