高一第1学期昂立机构数学教案讲义-07—命题和充要条件-教师版

1/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）高一数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题命题和充要条件教学目标1、理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解四种命题及其相互关系；3、理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；4、理解子集与推出关系。教学重点1、熟练掌握原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的转化；2、熟练运用互为逆否命题的真假值相同这一结论；3、理解充分条件、必要条件、充要条件之间的关系，并会证明。教学安排版块时长1例题解析802巩固训练303师生总结104课后练习302/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）1．设全集为R，21xyxM，则MCR.【难度】★【答案】，，112．已知集合2,yxyxM，4,yxyxN，那么集合NM.【难度】★★【答案】13，3．全集9876543210，，，，，，，，，U，集合85310，，，，A，86542，，，，B，则BCACUU.【难度】★★【答案】97，【解析】解法一：9,7,6,4,2ACU，9,7,3,1,0BCU，所以97，BCACUU；解法二：8,6,5,4,3,2,1,0BA，所以97，BACU，所以97，BACBCACUUU.4．已知集合72xxA，121mxmxB，若ABA，则实数m的取值范围是.【难度】★★【答案】4m【解析】ABA，则AB，不能忽视B的情况，当B时，121mm，解得2m；当B时，71221121mmmm，解得42m，所以实数m的取值范围是4m.命题和充要条件热身练习3/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）5．若集合RxaxxxA,012，集合21，B，且BA，则实数a的取值范围.【难度】★★【答案】2,2子集与推出关系充要条件充分条件、必要条件充分、必要条件等价命题四种命题形式命题与推出关系命题的形式及等价关系命题和充要条件一、有关命题的概念一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。【例1】判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。（1）12是4的倍数；（2）对角互补的四边形外接于一个圆；（3）我会说英语；（4）今天下雨吗?（5）ab是有理数，则ba,都是有理数。【难度】★【答案】（1）是命题，真命题，因为3412。例题解析知识梳理4/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）（2）是命题，真命题，定理。（3）是命题，假命题，当2,2ba时，ab为有理数，而ba,不是有理数。（4）不是命题，没有对一事物做出判断。（5）不是命题，因为其不能做出真假判断。【例2】判断下列命题的真假：（1）质数都是奇数；（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；（3）若0x，0y，则0xy。（4）若AB,AC,则BC。【难度】★【答案】（1）假命题，例如2是质数但不是奇数。（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题，例如}5,4{},3,2,1{},5,4,3,2,1{CBA，此时CB说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。若判断为真命题，则需证明。一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作。相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作。如果，并且，那么就说与等价，记作。复合命题的真假“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p真假假真“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：5/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假【例3】写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数。（2）p：方程210x的解是1x，q：方程210x的解是1x；（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.【难度】★【答案】由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”，如果不符，要作语言上的调整。（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；非p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非p”为假.（2）p或q：方程012x的解是1x,或方程012x的解是1x（注意，不能写成“方程012x的解是1x”，这与真值表不符）；p且q：方程012x的解是1x，且方程012x的解是1x；非p：方程012x的解不都是1x（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；p且q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；非p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.pqp且q真真真真假假假真假假假假6/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）【巩固训练】1、判断下列命题的真假：（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；（2）关于x的方程+=0(axbabR、）有且只有一个实数根。【难度】★【答案】（1）真命题。（2）假命题，当0,0ba时，方程无实数根。说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。若判断为真命题，则需证明。2、判断命题“若2x或3y，则+5xy”的真假。【难度】★【答案】假命题，例如4,1yx此时5yx。说明：根据其逆否命题的真假来进行判断原命题的真假，因为它们是等价的。二、命题的四种形式及其关系一个数学命题用条件，结论表示就是“如果，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如果，那么”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。【例5】命题“若一个数是负数，则他的平方是正数”的逆命题是（）A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【难度】★★【答案】B如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。7/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）【例4】若命题p的否命题是q，命题的逆命题是r，则r是p的逆命题的（）A.原命题B.逆否命题C.逆命题D.否命题【难度】★★【答案】D命题、的否定分别记作、（命题的否定与否命题是两种不同形式）。如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，我们将它叫做原命题的逆否命题。【例6】写出命题“已知abcdR、、、，若==abcd，，则=acbd”的其他三种形式。【难度】★★【答案】逆命题：已知abcdR、、、，若=acbd，则==abcd，。否命题：已知abcdR、、、，若ab或cd，则acbd。逆否命题：已知abcdR、、、，若acbd，则ab或cd。四种命题形式及其相互关系:常见结论的否定形式：（拓展内容）原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有n个至多有n-1个小于大于或等于至多有n个至少有n+1个8/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）对所有的x成立存在x不成立p或q非p且非q对任何的x不成立存在x成立p且q非p或非q【例7】命题：已知a，b为实数，若20xaxb有非空解集，则240ab。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？【难度】★★【答案】逆命题：已知ba,为实数，若240ab，则20xaxb有非空解集否命题：已知ba,为实数，若20xaxb没有非空解集，则240ab逆否命题：已知ba,为实数，若240ab，则20xaxb没有非空解集【巩固训练】1、下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若非p则非q”互为逆否命题B．命题p：任意[0,1]1xxe，，命题q：存在210xRxx，＜则pq为真C．“若22ambm＜则ab＜”的逆命题为真命题D．若pq为假命题，则p、q均为假命题．ab＜22ambm＜【难度】★★【答案】C2、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。（1）;023,2,2xxxRx则若（2）；都为、则若0,022baba【难度】★★【答案】（1）逆命题：2,023,2xxxRx则若假命题。否命题：023,2,2xxxRx则若假命题。逆否命题：2,023,2xxxRx则若真命题。9/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）（2）逆命题：0,022baba则都为、若真命题。否命题：0,022中至少有一个不为、则若baba真命题。逆否命题：0,022baba则中至少有一个不为、若真命题。3、写出下列命题的逆命题、否命题.（1）两个有理数的和是有理数；（2）.5|1|,46xxx则或【难度】★★【答案】（1）逆命题：若两个数的和是有理数，那么这两个数是有理数。否命题：若两个数不都是有理数，那么它们的和不是有理数。（2）逆命题：.46,5|1|xxx或则若。否命题：.5|1|,46xxx则且若。三、有关等价命题如果A、B是两个命题，ABBA,，那么A、B叫做等价命题（互为逆否命题的两个命题是等价命题）。【例8】下列各组中两个命题是否为等价命题。（1）.””与““BBABA（2）.””与““BAxAx【难度】★【答案】（1）BBABA，反过来，若Ax，则BAx，而BBA，所以即有Bx，BA，则BABBA。所以为等价命题。（2）,BAxAx而AxBAx，不等价。【例9】已知：ABCBCABBDDACDC是的边上的一点，求证命题“如果,那么D不在ABC的内角平分线上”10/19专业引领共成长高一数学暑假课程命题和充要条件（教师版）【难度】★★【答案】原命题的逆否命题为已知ABCBCD是的边上的一点，如果DABC在的内角平分线上，那么ABBDACDC证明：过C作DA的平行线交BA的延长线于E，在BCE中，//,DACE,BABDBADBECAEDC且DACACE,又BADACE.BECACE,AEAC从而ABBDACDC因为逆否命题为真命题，所以原命题为真命题。【巩固训练】1、下列各组中两个命题是否为等价命题。（1）“BAa”与“Ba”（2）“BAm”与“BAm”【难度】★★【答案】（1）BaBAa，而反过来不成立，所以不等价。（2）BAmBAm，而反过来不成立，所以不等价。2、判断下列命题真假。（1）.5042mmxx有两实根，则若（2）.21,3yxyx或则若【难度】★★【答案】（1）其逆否命题为：无实根，则若0452mxxm，为真命题，所以原命题为真命题。（2）其逆否命题为：.3,21yxyx则且若，为真命题，所以原命题为真命题。四、充要条件的判定充分条件与必