第三章晶体的宏观对称

第三章晶体的宏观对称q对称的概念q晶体对称的特点q对称要素和对称操作q对称要素的组合q对称型及其推导q晶体的对称分类q准晶体的分类3.13.1对称的概念对称的概念对称:就是物体相同部分有规律的重复。SymmetrySymmetry•是宇宙间的普遍现象•是自然科学最普遍和最基本的概念•是建造大自然的密码•是永恒的审美要素3.2晶体对称的特点（１）由于晶体内部都具有格子构造，而格子构造本身就是质点在三维空间周期重复的体现，通过平移，可使相同质点重复，而平移是一种特殊的对称操作，因此，所有的晶体结构都是对称的。（２）晶体的对称受格子构造规律的限制，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现。因此，晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称定律”（见对称轴一节）。（３）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质（如光学、力学、热学、电学性质等）上，也就是说晶体的对称不仅包含着几何意义，也包含着物理意义。因此，由以上可见：格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。3.3晶体的宏观对称要素和对称操作一、对称操作：对称变换亦称对称操作(symmetryoperation)：它是指能够使对称物体（或图形）中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。二、对称要素：在进行对称变换时所凭借几何要素——点、线、面等。一定的对称要素均有一定的对称变换与之相对应。3种类型的对称操作：二维:对称面(镜面)、一维:旋转轴、对称操作零维:对称中心(反演中心)；对称要素种类对称要素种类1.对称中心(centerofsymmetry)2.对称面(symmetryplane)3.对称轴(symmetryaxis)4.旋转反伸轴(rotoinversionaxis)5.旋转反映轴(rotoreflectionaxis)(x,y,z)(X,Y,Z)or⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=zayaxaZzayaxaYzayaxaX333231232221131211⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛Δ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxZYX⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=Δ333231232221131211aaaaaaaaa对称变换矩阵对称变换矩阵三、对称操作过程中坐标的变换对称操作的数学表达：对称操作对称操作对应点的坐标变换坐标变换对称操作对称操作四、对称要素类型1.对称面（P)对称面非对称面为一假想的平面，相应的对称变换为对此平面的反映。对称面—P操作为反映。可以有多个对称面存在，如3P、6P等。人和动物等；猪、狗、牛、羊、鸡、鸭、鱼、猫……等等都大体上可以看成是镜面对称的。有没有动物不是镜面对称的？植物一般为旋转对称。对称面——镜面对称对称面操作的坐标变换：(对称面垂直z轴既包含x、y轴)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛Δ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛-zyxzyx⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛-=Δ100010001m包含x、z轴?m包含y、z轴?m在其他位置?对称面的作用就好象一面镜子，由对称面联系起来的两个相同部分，分别相当于物体与像，两者互成镜象反映的关系。如果垂直于对称面作任意直线时，则在此直线上，位于对称面的两侧，且距对称面等距离的地方，必可找到性质完全相同的对应点。m晶体中如有对称面存在时，必定通过晶体的几何中心，并能将晶体等分为互成镜象反映的两个相同部分。它可以是垂直等分某些晶面的平面，或是包含某些晶棱的平面。2.对称轴☆对称轴符号为：Ln操作为旋转。其中n代表轴次，意指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角a，关系为：n=360/a。对称轴(Ln)：为一假想的直线，相应的对称变换为围绕此直线的旋转；每转过一定角度，各个相同部分就发生一次重复，亦即整个物体复原一次。对称轴的坐标变换矩阵：θ为不同轴次所旋转的角度。坐标变换矩阵将上一页的矩阵按顺序重复书写：(1)通过晶体的几何中心，并且为某二角顶的联线，或某二平行晶面中心的联线，或某二晶棱中点心的联线；(2)如晶体无对称中心时，则还可能是某一晶面的中心、晶棱的中点及角顶三者任意二者之间的联线。在晶体中如有对称轴存在时，其可能位置是:晶体对称定律：在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。原因：1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。lA1、A2、A3、A4、B1、B2为晶体中的阵点，相隔为a。•若B1B2=ma•a+2acosα=ma•cosα=(m-1)/2(m-1)/2≤1（但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）23461n180o120o90o60o0oa----1-1/201/21---cosa-2-101234m表m和a取值情况2、数学方法证明：3.对称中心对称中心（centerofsymmetry）是一假想的点，所对应的对称操作为反伸，通过该点作任意直线则在此直线上距对称中心等距离的位置上必定可以找到对应点。对称中心用符号C表示，国际符号用1表示。-如果通过对称中心作一任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必可以找到对应点。如果晶体具有对称中心，则对于晶体上的任一晶面来说，必定与之成反向平行的另一晶面存在。除位于对称中心上的物体(原子)外，其它物体(原子)必定成对地出现。⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛Δ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxZYX对称中心的坐标变换矩阵：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛---=Δ100010001(x,y,z)(-x,-y,-z)4.旋转反伸轴(Lin)(又称倒转轴、反轴或反演轴)：旋转反伸轴：也是一假想的直线，如果物体绕该直线旋转一定角度后，再对此直线上的一点进行反伸，可使相同部分重复，即所对应的操作是旋转＋反伸的复合操作。组成这种复合操作的每一个操作本身可以是对称操作（即操作后相同部分重复），也可以不是对称操作（即操作后并未使相同部分重复），但两者的复合操作一定是对称操作。旋转＋反伸两个变换动作是构成整个对称变换的不可分割的两个组成部分。无论是先旋转后倒反，或是先倒反后旋转，两者的效果完全相同，但都是在两个变换动作连续完成以后而使晶体复原。旋转反伸轴以Lni表示。由于同样的原因，不可能有五次和高于六次的旋转反伸轴(倒转轴)存在。旋转反伸轴也只能是n＝１、２、３、４、６这几种，符号记为：Li１，Li２，Li３，Li４，Li６。旋转反伸轴–Lin操作为旋转+反伸的复合操作。操作过程：旋转反伸轴–Li1旋转反伸轴–Li2旋转反伸轴–Li3旋转反伸轴–Li4旋转反伸轴–Li6一个横切面呈等边三角形的三棱柱，它具有一个L6i。对应于L6i的对称变换是旋转60º和倒反的复合，晶体即复原。该晶体还存在着一个与L6i相重合的L3，以及垂直于此L3的一个对称面P。借助于此L3和P两者的联合变换也可以而达到完全相同的复原效果。旋转反伸轴的等效代替除Li4外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：Li1=C，Li2=P，Li3=L3+C，Li6=L3+P但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4不能被代替，Li6在晶体对称分类中有特殊意义。在晶体模型上找Li4往往是比较困难的，因为容易误认为L2。我们不能用L2代替Li4，就像我们不能用L2代替L4一样。因为L4高于L2，Li4也高于L2。在晶体模型上找对称要素，一定要找出最高的。旋转反伸轴(Lin)对称操作之图解旋转反伸轴坐标变换矩阵：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛----1000cossin0sincosaaaa⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛Δ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛zyxZYX=5.旋转反映轴轴(Lns)(也称映转轴，映轴)：旋转反映轴：为一假想的直线，相应的对称操作为旋转＋反映的复合操作。图形围绕它旋转一定角度后，并对垂直它的一个平面进行反映，可使图形的相等部分重复。旋转反映轴以Lns表示，其中s代表反映，n为轴次（或用Ln２n，n代表它所包含的简单对称轴的轴次，而用２n代表其本身的轴次，例如L４s＝L２４）。L1s=L2i=L1+P=P(P⊥L2i)能够在晶体中出现的旋转反映轴也只有五种：L1s、L2s、L3s、L4s和L6s。L2s=L1i=L1+C=CL3s=L6i=L3+P（L3∥L6i，P⊥L3）L6s=L3i=L3+C（L3∥L3i）L4s=L4i旋转反映轴有五种：L1s、L2s、L3s、L4s和L6s。每一个旋转反映轴都可以由之等效的旋转反伸轴来代替它。L1s=L2i=L1+P=P(P⊥L2i)L2s=L1i=L1+C=CL3s=L6i=L3+P（L3∥L6i，P⊥L3）L6s=L3i=L3+C（L3∥L3i）L4s=L4i通常不用映转轴，而由相应的旋转反伸轴来代替它。在晶体学中通用的国际符号，即海曼—摩根（Hermann-Mauguin）符号。旋转反伸轴则在用来代表轴次的阿拉伯数字上方再加一横线来表示，并读为“N一横”而不读为“负N”，如4。在对称轴和旋转反伸轴中，当轴次n相同时，可统称为n次轴，例如L4和L4i统称为四次轴；而当n2时，则总称为高次轴。-宏观晶体的对称要素对称轴旋转反伸轴对称要素一次二次三次四次六次对称中心对称面三次四次六次辅助几何要素直线点平面直线和直线上的定点对称操作围绕直线的旋转对于点的反伸对于平面的反映绕直线旋转及点的反伸基转角360˚180˚120˚90˚60˚120˚90˚60˚习惯符号L1L2L3L4L6CPL3iL4iL6i国际符号12346īm346等效对称要素L1iL2iL3+CL3+P图示记号˚或C双线或粗线cm3m对称要素的分布：对称要素的分布？五、对称要素组合规律我们首先回忆一下前面几个模型的结果：例如：四方四面体：Li42L22P菱面体：L33L23PC＝Li33L23P立方体：3L44L36L29PC从上面的结果可以看出什么规律？◆晶体上的对称要素不是孤立存在的，当一个晶体上的对称要素多于1种，就会涉及对称要素的组合问题。◆对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；◆当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。定理1：如有一个二次轴L2垂直一n次对称轴Ln时，则必有n个共交的L2同时垂直此Ln，且任二相邻L2之间的夹角均等于360º/2n。Ln´L2^®LnnL2(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)对称要素组合定理：逆定理：L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4´L2^®L44L2,思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?L3´L2^®L33L2对称要素的组合3L2L33L2L44L2L66L2定理2：如有一个偶次对称轴Ln垂直于对称面P时，则两者的交点必含对称中心C。Ln´P^®LnP^C(n为偶数)逆定理：Ln´C®LnP^C(n为偶数)P´C®LnP^C(n为偶数)这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。因为偶次轴包含L2。定理3：如有一个对称面P包含一n次对称轴Ln(即Ln与P平行且位于P平面之内)时，则必有n个P同时包含此Ln，且任两相邻P之间的夹角均等于360º/2n。Ln´P//®LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?对称要素的组合L22PL33PL44PL66P定理4：如有一个对称面P包含一个旋转反伸轴Lni，或有一个二次轴L2垂直一个旋转反伸轴Lni时，当n为偶数时，则必有n/2个P同时包含此Lni，并有n/2个共点的L2垂直此Lni，且P之法线与相邻L2之间的交角均为360º/2n。N为奇数时既n=3，®LinnL2^nP//Lin´P//=Lin´L2^®Linn/2L2^n/2P//（n为偶数）®LinnL2^nP//（n为奇数）例：四方四面体Li42