考前指导--高中数学(理)基础知识梳理归类

高中数学(理科)基础知识归类第1页(共8页)高中数学基础知识归类——献给2014年高三(理科)考生一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg}xyx—函数的定义域；{|lg}yyx—函数的值域；{(,)|lg}xyyx—函数图象上的点集.2.集合的性质：①任何一个集合A是它本身的子集,记为AA.②空集是任何集合的子集,记为A.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为AB,在讨论的时候不要遗忘了A的情况如：}012|{2xaxxA,如果AR,求a的取值.(答：0a)④()UUUCABCACB,()UUUCABCACB；ABCABC（）（）；ABCABC（）（）.⑤ABAABBUUABCBCAUACBUCABR.⑥AB元素的个数：()()cardABcardAcardBcardAB.⑦含n个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为21n；非空真子集个数为22n.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数12)2(24)(22ppxpxxf在区间]1,1[上至少存在一个实数c,使0)(cf,求实数p的取值范围.(答：32(3,))4.原命题:pq；逆命题:qp；否命题:pq；逆否命题:qp；互为逆否的两个命题是等价的.如：“sinsin”是“”的条件.(答：充分非必要条件)5.若pq且qp,则p是q的充分非必要条件(或q是p的必要非充分条件).6.注意命题pq的否定与它的否命题的区别:命题pq的否定是pq；否命题是pq.命题“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.如：“若a和b都是偶数，则ba是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数,则ba是奇数”否定是“若a和b都是偶数,则ba是奇数”.7.常见结论的否定形式二.函数1.①映射f:AB是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合A中的元素必有象且A中不同元素在B中可以有相同的象；集合B中的元素不一定有原象(即象集B).②一一映射f:AB：⑴“一对一”的对应；⑵A中不同元素的象必不同,B中元素都有原象.2.函数f:AB是特殊的映射.特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点,但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0;偶次根式被开方数非负;对数真数0,底数0且1；零指数幂的底数0)；实际问题有意义；若()fx定义域为[,]ab,复合函数[()]fgx定义域由()agxb解出；若[()]fgx定义域为[,]ab,则()fx定义域相当于[,]xab时()gx的值域.5.求值域常用方法:①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)；⑵代换(配凑)法；⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()fx是偶函数,那么()()(||)fxfxfx；定义域含零的奇函数必过原点((0)0f)；⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0fxfx或()()1(()0)fxfxfx；⑷复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如()0fx定义域关于原点对称即可).⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.⑺复合函数单调性由“同增异减”判定.（提醒：求单调区间时注意定义域）如：函数122log(2)yxx的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移---------“左加右减”（注意是针对x而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()fx而言).⑵翻折变换：()|()|fxfx；()(||)fxfx.⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C与2C的对称性,即证1C上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C上,反之亦然.③函数()yfx与()yfx的图像关于直线0x(y轴)对称；函数()yfx与函数()yfx的图像关于直线0y(x轴)对称；④若函数()yfx对xR时，()()faxfax或()(2)fxfax恒成立,则()yfx图像关于直线xa对称；⑤若()yfx对xR时,()()faxfbx恒成立,则()yfx图像关于直线2abx对称；⑥函数()yfax,()yfbx的图像关于直线2bax对称(由axbx确定)；⑦函数()yfxa与()yfbx的图像关于直线2abx对称；⑧函数()yfx,()yAfx的图像关于直线2Ay对称(由()()2fxAfxy确定)；⑨函数()yfx与()yfx的图像关于原点成中心对称；函数()yfx,()ynfmx的图像关于点22(,)mn对称；⑩函数()yfx与函数1()yfx的图像关于直线yx对称；曲线1C：(,)0fxy,关于yxa,yxa的对称曲线2C的方程为(,)0fyaxa(或(,)0fyaxa；原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有1n个小于不小于至多有n个至少有1n个对所有x,成立存在某x,不成立p或qp且q对任何x,不成立存在某x,成立p且qp或q高中数学(理科)基础知识归类第2页(共8页)曲线1C：(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线2C方程为：(2,2)0faxby.9.函数的周期性：⑴若()yfx对xR时()()fxafxa恒成立,则()fx的周期为2||a；⑵若()yfx是偶函数,其图像又关于直线xa对称,则()fx的周期为2||a；⑶若()yfx奇函数,其图像又关于直线xa对称,则()fx的周期为4||a；⑷若()yfx关于点(,0)a,(,0)b对称,则()fx的周期为2||ab；⑸()yfx的图象关于直线xa,()xbab对称,则函数()yfx的周期为2||ab；⑹()yfx对xR时,()()fxafx或1()()fxfxa,则()yfx的周期为2||a；10.对数：⑴loglognnaabb(0,1,0,)aabnR；⑵对数恒等式log(0,1,0)aNaNaaN；⑶log()loglog;logloglog;loglognaaaaaaaaMNMNMNMNMnM；1loglognaaMnM；⑷对数换底公式logloglogbbaNaN(0,1,0,1)aabb；推论：121123logloglog1loglogloglognabcaaananbcaaaaa.(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0nMNaabbccaaa且12,,naaa均不等于1)11.方程()kfx有解kD(D为()fx的值域)；()afx恒成立[()]afx最大值,()afx恒成立[()]afx最小值.12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式：①一般式：2()(0)fxaxbxca；②顶点式：2()()(0)fxaxhka；③零点式：12()()()(0)fxaxxxxa.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域可由不等式()agxb解出；若[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于[,]xab时,求()gx的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()yfx与1()yfx互为反函数,设()fx的定义域为A,值域为B,则有1[()]()ffxxxB,1[()]()ffxxxA.18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：()()()0fugxuhx(或0)()aub()0()0fafb(或()0()0fafb)；19.函数(0,)axbcxdycadbc的图像是双曲线：①两渐近线分别直线dcx(由分母为零确定)和直线acy(由分子、分母中x的系数确定)；②对称中心是点(,)dacc；③反函数为bdxcxay；20.函数(0,0)bxyaxab：增区间为(,],[,)bbaa,减区间为,,[,0),(0]bbaa.如：已知函数12()axxfx在区间(2,)上为增函数,则实数a的取值范围是_____(答：12(,)).三.数列1.由nS求na,1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN注意验证1a是否包含在后面na的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}na满足111534,nnnaSSa，求na(答：14(1)34(2)nnnan).2.等差数列1{}nnnaaad(d为常数)112(2,*)nnnaaannN21122(,)(,)nnddaanbadbadSAnBnABa；3.等差数列的性质：①()nmaanmd,mnaamnd；②mnlkmnlkaaaa(反之不一定成立)；特别地,当2mnp时,有2mnpaaa；③若{}na、{}nb是等差数列,则{}nnkatb(k、t是非零常数)是等差数列；④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即232,,,mmmmmSSSSS仍是等差数列；⑤等差数列{}na,当项数为2n时,SSnd偶奇,1nnSaSa奇偶；项数为21n时,(*)nSSaanN偶中奇,21(21)nnSna,且1SnSn奇偶；()(21)nnnnAaBbfnfn.⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式100nnaa(或100nnaa).也可用2nSAnBn的二次函数关系来分析.⑦若,()nmamanmn,则0mna；若,()nmSmSnmn,则()mnSmn；若()mnSSmn,则Sm+n=0；S3m