北师大数学八年级上册第五章二元一次方程组解法(一)--代入法(提高)

二元一次方程组解法—代入法（提高）知识讲解【学习目标】1.理解消元的思想；2.会用代入法解二元一次方程组.【要点梳理】要点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数.这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：237338xyxy①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得732yx③将③代入②733382yy，解得13y．将13y代入③，得x＝3所以原方程组的解为313xy．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m是大于-4的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.2.（2016春•九台市期末）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组2320,2352y9.7xyxy【答案】解：232235297xyxyy①②将①代入②：25297y，得y=4，将y=4代入①：2x－12=2得x=7，∴原方程组的解是74xy.（2）45:4:3xyxy①②解：由②，设x=4k，y=3k代入①：4k－4·3k=54k－12k=5－8k=558k∴542xk，1538yk，∴原方程组的解为52158xy.类型二、方程组解的应用3.（2015春•临清市期末）如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1B．2C．3D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．4.已知2564xyaxby①②和方程组35168xybxay③④的解相同，求2011(2)ab的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组2563516①xyxy③①+③得5x＝10，解得x＝2．把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以22xy，又联立方程组48axbybxay，则有224228abab，解得13ab．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【巩固练习】一、选择题1．解方程组347910250mnmn①②的最好方法是（）.A．由①得743nm再代入②B．由②得25109nm再代入①C．由①得347mn再代入②D．由②得91025mn再代入①2.（2015•张店区一模）若二元一次方程式组的解为x=a，y=b，则a+b等于（）A．B．C．D．3．关于x，y的方程ykxb，k比b大1，且当12x时，12y，则k，b的值分别是（）.A．13，23B．2，1C．-2，1D．-1，04．已知24xy和41xy都是方程y＝ax+b的解，则（）.A．125abB．123abC．121abD．121ab5．如果二元一次方程组4xyaxya的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a的值是（）.A．3B．2C．7D．66．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x海里/时，水流速度为y海里/时，则下列方程组中正确的是（）.A．33903.63.690xyxyB．33.6903.6390xyyxC．3()903()90xyxyD．33903.63.690xyxy二、填空题7．已知51,62xtyt，用含y的式子表示x，其结果是_______．8．（2015•丹东模拟）若方程组的解为，则点P（a，b）在第象限．9．（2016•永州）方程组的解是．10．若532yxab与2244xyab是同类项，则x＝________，y＝________．11．已知方程组3524xyaxy的解也是方程47135xyxby的解，则a＝_____，b＝____．12.关于,xy的二元一次方程组1353xymxym中，m与方程组的解中的xy或相等，则m的值为.三、解答题13．用代入法解方程组：（1）0.50.21.2,0.30.60.2;yxyx（2）3252,2(32)117.xyxxyx14．研究下列方程组的解的个数：（1）21243xyxy；（2）2123xyxy；（3）21242xyxy.你发现了什么规律？15．（2015•沧州一模）若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）．16.（2016春•万州区校级期中）甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c，解得，求原方程组中a、b、c的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；2.【答案】A．【解析】把x=a，y=b代入方程组得：，将b=15a代入5a-b=5,解得：，∴a+b=.3.【答案】A；【解析】将12x时，12y代入ykxb得1122kb①，再由k比b大1得1kb②，①②联立解得13k，23b.4.【答案】B；【解析】将24xy和41xy分别代入方程y＝ax+b得二元一次方程组：2441abab，解得1,32ab.5.【答案】B；【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得.6.【答案】D.二、填空题7.【答案】151xy；8.【答案】四.【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3，则P（2，﹣3）在第四象限．9.【答案】；【解析】解：解方程组，由①得：x=2﹣2y③，将③代入②，得：2（2﹣2y）+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．10．【答案】2，-1；【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案.11.【答案】3，1；【解析】由题意得：35471xyxy，解得21xy，代入2435axyxby，得关于a、b的方程组22465ab，解得31ab12.【答案】12-2或；【解析】解：解关于x，y的方程组得21xym，当xm时，2m；当ym时，12m.三、解答题13.【解析】解：（1）0.50.21.2,0.30.60.2;yxyx①②将②代入①得，0.50.30.61.2yy，得94y，将94y代入①得，38x，所以原方程组的解是3894xy.（2）3252,2(32)117.xyxxyx①②把3x+2y看作整体，直接将①代入②得，2(52)117xx，解得3x，将3x代入①得，2y所以原方程组的解是32xy．14.【解析】解：（1）无解；（2）唯一一组解；（3）无数组解.规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）；当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）；当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）.15.【答案】解：将代入得，解得：．∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），∴当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2×=6．16.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=﹣5，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1．把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组，解得．故a=，b=，c=﹣5．