积分变换1

《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章1章节名称：第一章Fourier变换学时安排：8学时教学要求：使学生了解Fourier变换及其相关概念，会求函数的Fourier变换、逆变换及其推导一些积分结果。教学内容：Fourier积分；Fourier变换；Fourier变换的性质；卷积与相关函数教学重点：Fourier变换及其性质教学难点：Fourier变换的计算与证明教学手段：课堂讲授教学过程：引言1，积分变换：所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变化。一般是含有参变量的积分badttKtfF),()()(其中),(ba为积分域，),(tK为积分变换的核，上述变换的实质是把函数类A中的函数)(tf变成另一类函数B中的)(F。（1）当),(),(ba，dtetKtj),(时，dtetfFtj)()(为Fourier变换；（2）),0(),(bastestK),(0)()(dtetfsFst为Laplace变换。)(tf为象原函数；)(F为)(tf的象函数，在一定条件下，它们是一一对应而变换是可逆的。2，傅立叶其人：法国数学家、物理学家（1768-1830），主要贡献：傅立叶级数（三角级数）创始人。1，1807年《热的传播》一文中推导出热传导方程，在解方程时发现解函数可以有由三角函数构成的级数表示，于是提出任一函数可以展开成三角级数的无穷级数；2，1822年，《热的分析》一文研究了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一。傅立叶级数、傅立叶分析等理论也由此创始。3，傅立叶变换对现代科学技术具有很重要的意义，它在通讯理论、自动控制、电子技术、射电天文、衍射物理等多种学科中有着广泛的应用。在一定意义上可以说，傅立叶变换起着沟通不同学科领域的作用。例如，把傅立叶变换引入光学，促进了通信理论与光学的结合，形成了作为近代光学重要分支的傅立叶光学与光学信息处理技术。从而傅立叶变换成为近代科学技术的基本数学工具之一。第一章Fourier变换《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章2§1、Fourier积分1，Fourier级数定理：一个以T为周期的函数)(tfT，如果在]2,2[TT上满足Dirichlet条件（即函数在]2,2[TT上满足：（1）连续或者只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点），那么)(tfT在]2,2[TT上就可以展开成Fourier级数。注意：在)(tfT的连续点处，级数的三角形式为10)sincos(2)(nnnTtnbtnaatf其中：220)(2,2TTTdttfTaT，22cos)(2TTTntdtntfTa，22sin)(2TTTntdtntfTb（n=1,2,3,…）2，转换：把Fourier级数的三角形式转换为复指数形式。(为了应用上的方便)说明：电工学中通常用“j”表示虚数单位根据Euler公式，2cosjjee，22sinjjjjeejjee，于是10)sincos(2)(nnnTtnbtnaatf可以改写为10)22(2)(ntjntjnntjntjnnTjeebeeaatf10)22(2ntjnnntjnnnejbaejbaa令2200)(12TTTdttfTac，]sin)(cos)([122222TTTTTTnnntdtntfjtdtntfTjbac，22]sin)[cos(1TTTdttnjtntfT22)(1TTtjnTdtetfT（n=1,2,3,…）《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章32nnnjbac22)(1TTtjnTdtetfT（n=1,2,3,…）上述两个式子可以合写为22)(1TTtjnTndtetfTc（n=0，±1，±2，±3，…）令nn（n=0，±1，±2，±3，…）则10)sincos(2)(nnnTtnbtnaatf可以改写为10)22(2)(ntjnnntjnnnTejbaejbaatfntjnnecc0这就是Fourier级数的指数形式。或者写为)(tfTntjTTtjnTnedtetfT])([1223，非周期函数的展开问题。（1）任何一个非周期函数)(tf都可以看成是由某个周期函数)(tfT当T时转化而来的：下面作周期为T的函数)(tfT，使其在)2,2[TT之内等于)(tf，而在)2,2[TT之外按周期T延拓到整个数轴上，很明显，T越大，则)(tfT与)(tf相等的范围也越大，这表明当T时，周期函数)(tfT便可以转化为)(tf，即：)(limtfTT=)(tf（2）)(tf的展开式：由（1）可知，在)(tfTntjTTtjnTnedtetfT])([122中令T时，结果就可以看成是)(tf的展开式，即)(tf=TlimntjTTtjnTnedtetfT])([122《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章4（3）进一步分析：当n取一切整数时，n所对应的点便均匀地分布在整个数轴上，若两个相邻点的距离以n表示，即nnnnTT2,21或则当T时，有0n，所以)(tf=TlimntjTTtjnTnedtetfT])([122又可以写为：)(tf=0limnnntjTTtjnTnedtetf])([2122在上面的式子中，当t固定时，tjTTtjnTnedtetf])([2122是参数n的函数，记为tjTTtjnTnTnedtetf])([21)(22利用)(nT可得)(tf=0limnnnnT)(很显然，当0n时，即T时，)()(nnT，这里)(ntjjnnedef])([21从而)(tf可以看作是)(n在),(上的积分)(tf=nnd)(即)(tf=d)()(tf=dedeftjj])([21上述公式为函数)(tf的Fourier积分公式（复数形式）。（比较“柯西积分公式”）4，Fourier积分定理：上面的Fourier积分公式只是由)(tf=0limnnntjTTtjnTnedtetf])([2122《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章5的右端从形式上推出来的，是不严格的，非周期函数)(tf在什么条件下，可以用Fourier积分公式来表示，有下面的收敛定理：（1）Fourier积分定理：若)(tf在),(上满足下列条件：（1）)(tf在任一有限区间上满足Dirichlet条件；（2）)(tf在无限区间),(上绝对可积（即积分dttf)(收敛），则有)(tf=dedeftjj])([21成立，而左端的)(tf在它的间断点t处，应以2)0()0(tftf来代替。（证明略）（2）利用欧拉公式将复数形式转化为三角形式)(tf=dedeftjj])([21=ddeftj])([21)(=ddtfjdtf])(sin)()(cos)([21考虑积分dtf)(sin)(是的奇函数，就有0])(sin)([ddtf从而)(tf=ddtf])(cos)([21又考虑到积分dtf)(cos)(是的偶函数，就有)(tf=ddtf])(cos)([10上式为)(tf的Fourier积分公式的三角形式。（3）讨论：)(tf=ddtf])(cos)([10即)(tf=ddttf])sinsincos)(cos([10当)(tf为奇函数；cos)(f，sin)(f分别为关于的奇函数和偶函数，)(tf=tddfsin]sin)([200当)(tf为偶函数；cos)(f，sin)(f分别为关于的偶函数和奇函数，《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章6)(tf=tddfcos]cos)([200上述两式分别为Fourier正弦积分公式和Fourier余弦积分公式。5，应用举例：例1求函数其它,01,1)(ttf的Fourier积分表达式。6，练习：P.102(1),4§2、Fourier变换1，Fourier变换的概念（1）若函数)(tf满足Fourier积分定理中的条件，则在)(tf的连续点处，有)(tf=dedeftjj])([21成立。下面设dtetfFtj)()(则deFtfj)(21)(我们发现，)(tf和)(F通过指定的积分运算可以相互表达，我们把dtetfFtj)()(叫做)(tf的Fourier变换式。可记为)(F=（2）Fourier变换相关概念：Fourier变换：dtetfFtj)()(右端的积分运算，叫做)(tf的Fourier变换；Fourier逆变换：deFtfj)(21)(右端的积分运算，叫做)(F的Fourier逆变换；当)(tf为奇函数时，Fourier正弦变换式（简称正弦变换）：)(sF=tdttfsin)(0叫做)(tf的Fourier正弦变换式（简称正弦变换）。即Fourier正弦逆变换式（简称正弦逆变换）：)(tf=tdFssin)(20叫做)(F的Fourier正弦逆变换式（简称正弦逆变换）。即当)(tf为偶函数时，《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第一章7Fourier余弦变换式（简称余弦变换）：)(cF=tdttfcos)(0叫做)(tf的Fourier正弦变换式（简称正弦变换）。即Fourier余弦逆变换式（简称余弦逆变换）：)(tf=tdFccos)(20叫做)(F的Fourier正弦逆变换式（简称正弦逆变换）。即（3）应用举例：例1、求函数0,;0,0)(tettft的Fourier变换及其积分表达式，其中0。这个)(tf叫做指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个函数。例2、求函数2)(tAetf的Fourier变换及其积分表达式，其中0,0A。这个)(tf叫做钟形脉冲函数，也是工程技术中常碰到的一个函数。练习：求函数1,0;10,1)(tttf的正弦变换和余弦变换。2单位脉冲函数及其Fourier变换（阅读）要点：（1）函数；（2）工程上常将函数称为单位脉冲函数；（3）函数系列性质。（P20，21）3非周期函数的频谱（阅读）(P25-28)在频谱分析中，Fourier变换)(F又称为)(tf的频谱函数。§3、Fourier变换的性质在这一节，将介绍Fourier变换的几个重要性质，为了叙述方便，假定在这些性质中，凡是需要求Fourier变换的函数都满足Fourier积分定理的条件。1，线性性质设)(1F=)(1tf，)(2F=)