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《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第二章1章节名称:第二章Laplace变换学时安排:8学时教学要求:使学生了解Laplace变换及其相关概念,会求函数的Laplace变换、逆变换及其推导一些积分结果。教学内容:Laplace积分;Laplace变换;Laplace变换的性质;Laplace变换的应用教学重点:Laplace变换换及其性质教学难点:Laplace变换的计算与应用教学手段:课堂讲授教学过程:第二章Laplace变换§1、Laplace变换的概念1、Laplace积分的概念:(1),称复含参量s的广义积分0)(dtetfst为Laplace积分;收敛的Laplace积分在右半平面上同时定义了一个函数)(sF,这个函数我们称其为复频函数,s称为复频率。例,求指数函数tetf)(的Laplace积分(其中为任一复数)(2),Laplace积分存在定理定理2.1,若函数)(tf在区间),0[上满足下列条件:(1))(tf在任意有限区间上分段连续;(2)存在着常数0,00cM,使得tcMetf0)(,则在半平面0)Re(cs上,积分0)(dtetfst存在,由此积分所确定的函数)(sF解析。2、Laplace变换(1)Laplace变换的概念定义:设)(tf为定义在),0[上的实值(或复值)函数,其Laplace积分收敛,由积分0)()(dtetfsFst建立的从)(tf到)(sF的对应叫做)(tf的Fourier变换式。(2)Laplace变换应用举例:例1,求函数chkttf)(的Laplace变换(其中k为任意复数)。例2,求函数tttf3sin2sin)(的Laplace变换。《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第二章2§2、Laplace变换的性质在这一节,将介绍Laplace变换的几个重要性质,为了叙述方便,假定在这些性质中,凡是需要求Laplace变换的函数都满足Laplace积分定理的条件。1,线性性质设)(1sF=)(1tf,)(2sF=)(2tf,,是常数,则)()()()(2121sFsFtftf这个性质的作用是显然的,它表明了函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换的线性组合。同样Laplace逆变换具有类似的线性性质。2,微分性质如果)()(sFtf则)0()()('fssFtf它表明一个函数的导数的Laplace变换等于这个函数的Laplace变换乘以参变数s,再减去函数的初值。推论:若)()(sFtf,则)0()0()()('2''fsfsFstf一般地,)0()0()0()()()1('21)(nnnnnffsfssFstf例:求函数mttf)(的Laplace变换(其中m为正整数)3,积分性质如果)()(sFtf,则)(1)(0sFsdttft例:求函数tttfsinh)(的Laplace变换它表明一个函数积分后的Laplace变换等于这个函数的Laplace变换除以复参数s。4,位移性质如果)()(sFtf,则)()(asFtfeat,cas)Re(5,延迟性质如果)()(sFtf,则)()(sFetfs《复变函数与积分变换》教案《积分变换》第二章3§3、Laplace逆变换1,Laplace反演积分0,)(21)(tdsesFjtfstjj2,定理:若,,,21nsss是函数)(sF的所有奇点(适当选取使这些奇点全在)Re(s的范围)内),且当s时,0)(sF,则有])([Re)(21)(1stnkssstjjesFsdsesFjtfk。例,利用留数方法求2)1(1)(sssF的逆变换。§4、Laplace变换的应用:微分、积分方程的Laplace变换解法例1,求方程teyyy32'''满足初始条件1)0(,0)0('yy的解。例2,求方程02'''yyy满足初始条件4)(,0)0(lyy的解。例3,求方程02)21('''yytty满足初始条件2)0(,1)0('yy的解。教学小结:1)掌握Laplace积分、Laplace变换等概念以及运用它们计算函数的Laplace积分、Laplace变换,并能熟练推证一些积分等式。2)运用Laplace变换的线性性质、微分性质、积分性质,可以将线性常系数微分方程(包括积分方程和微积分方程)转化为代数方程,通过解代数方程与求Laplace逆变换,就可以得到相应的原方程的解。另外,Laplace变换还是求解偏微分方程的方法之一,其计算过程与上述步骤大体相似。作业布置:P.79,2(1);P92,1(1,3,5);P135,1(1,2);2(1)
本文标题:积分变换2
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