张宇高数笔记

第一章节极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。②它的极限存在且唯一。③它是有界的。（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡）④它有保号性。数列极限存在的解题手段：①夹逼法。②定积分定义法。③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A。（2）先斩后奏解出A，然后用压缩映象原理列出|𝑥𝑛−𝐴|k|𝑥𝑛−1−𝐴|，其中0k1④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出𝑥𝑛+1和𝑥𝑛的递推关系，然后用③的方法。⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）𝑥𝑛+1=𝑓(𝑥𝑛)，𝑓(ξ)=𝜉；则𝑥𝑛+1−𝑥𝑛=𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑥𝑛−1)，|𝑥𝑛+1−𝜉|=|𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝜉)|（2）任何|𝑓′(x)|≤k的函数，都可由拉氏定理得|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑘|𝑥1−𝑥2|（3）若知𝑓(x)的单调性，可把𝑥𝑛+1和𝑥𝑛的大小判断转化为对𝑓(𝑥𝑛+1)和𝑓(𝑥𝑛)的判断。（4）若给出𝑥𝑛+1=𝑓(𝑥𝑛)，𝑓′(x)和𝑥0的初值，则用拉氏定理:|𝑥𝑛+1−𝑥0|=|𝑓(𝑥𝑛)−𝑓(𝑥0)|=|𝑓′(𝜉)(𝑥𝑛−𝑥0)|≤A|(𝑥𝑛−𝑥0)|压缩映象⑥对于累加型数列𝑥𝑛=∑𝑓(𝑛,𝑘)𝑛𝑘=1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。函数极限存在（设为A），则：①左右极限都为A。（证明题证极限存在的思路）②唯一性、有界性、保号性。③∀ε0,∃δ0,当0|x−𝑥0|δ时，有|f(x)−A|ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。重要结论与具体解题技巧：①闭区间上连续的函数必有界；开区间上连续的函数，两端点极限都存在才有界。②无穷项相加的放缩：n×𝑢𝑚𝑖𝑛≤∑𝑢𝑖≤𝑛𝑖=1n×𝑢𝑚𝑎𝑥有限项相加（且𝑢𝑖≥0）的放缩：1×𝑢𝑚𝑎𝑥≤∑𝑢𝑖≤𝑛𝑖=1n×𝑢𝑚𝑎𝑥③诸如1𝑥2之类的形式难以处理，想到用倒代换。④见根号，有理化。⑤分子分母都有不少幂次方，上下同除最大因子。（当x0时，用t=-x替换）形如ax+bx、ea+eb的指数相加，则提取最大因子。⑥积分求导时，记得对积分限中的x也要求一次导。⑦x出现在指数上，想到两种思路：（1）对于1∞型：lim𝑢𝑣=𝑒lim(𝑢−1)𝑣（2）用e、ln置换掉指数，并想办法凑出𝑒𝑥−1～x的形式来化简。⑧看到高斯函数[·]，想到夹逼；想到从左右两边分别趋近。⑨两个连续函数加、减、乘、复合都连续。除不一定，要看分母有没有为0的点。连续函数和间断函数加减后一定间断，乘除则不一定。⑩极限可拆的前提是拆开后的极限都存在。⑪两坨相加的东西难以化简，可以用其中一个除另一个再取极限，如果结果是0或∞，说明其中一个是高阶无穷小，直接扔掉。⑫判断函数分段点时，尽量先把函数写出分段函数形式，不易出错。无穷小的运算规则：①有限个无穷小的和、乘积是无穷小。（无穷个则不一定）②有界函数乘无穷小为无穷小。③加减时，低阶吸收高阶；乘法时，阶数累加。泰勒公式：f(x)=∑𝑓𝑛(𝑥0)𝑛!in=0(𝑥−𝑥0)𝑛+𝑅𝑛(𝑥)本章难题：例2.5、例2.11、例2.28、习2.8、习2.14（2）、源1.3、源1.6、源1.8、源1.12、源1.15、源1.41、源1.46、源1.82、源1.89、源1.92、源1.105第二章节：导数基础知识：①导数定义中增量的广义化：lim𝑢→0𝑓(𝑥0+𝑢)−𝑓(𝑥0)𝑢，这里的u可以取任何表达式。注意，u需要从双向都能→0，若单向趋近，则只能得出单向导数。②𝑦=𝑓(𝑥)，反函数𝑥=𝜑(𝑦)，则𝑑𝑥𝑑𝑦=1𝑦′；𝑑2𝑥𝑑𝑦2=−𝑦′′𝑦′3③可微的判别：作极限limΔx→0Δy−dyΔx，若极限等于0，则𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0处可微。其中增量Δy=𝑓(𝑥0+Δx)−𝑓(𝑥0)，微分（线性增量）𝑑𝑦=𝑓′(𝑥0)Δx由于事实上，Δy=𝑑𝑦+𝑜(Δx)，故𝑑𝑦又被称为Δy的“线性主部”。④斜渐近线：lim𝑥→∞𝑓(𝑥)𝑥=𝑘1，lim𝑥→∞[𝑓(𝑥)−𝑘1𝑥]=𝑏1，则𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1⑤凹函数的另一种定义：𝑓[𝜆𝑥1+(1−𝜆)𝑥2]λ𝑓(𝑥1)+(1−𝜆)𝑓(𝑥2)，0𝜆1⑥曲率及曲率半径：k=|𝑦′′|[1+(𝑦′)2]32；R=1𝑘=[1+(𝑦′)2]32|𝑦′′|；曲率圆心：α=𝑥−𝑦′[1+(𝑦′)2]𝑦′′；β=𝑦+1+(𝑦′)2𝑦′′⑦内外可导⇒复合可导；但复合可（不可）导⇏内外可（不可）导。解题技巧：①证明题中牢记导数的定义，尤其是遇到抽象函数时，首选构造导数的定义。②求导题中牢记导数的定义：（1）间断点处必须用导数的定义求导。（2）用求导公式过于复杂，用定义法往往简单。（3）当x,y用参数方程表示时，导数的定义式写成limΔx→0ΔyΔx，转化为Δt，如例3.20③导数类题目要时刻谨记函数是否连续，不连续就不能往里代。题目中若给出存在二阶导数𝑓′′(0)，则𝑓(𝑥)在0处连续，𝑓′(𝑥)在0处连续，但是𝑓′′(𝑥)在0处不一定连续！此时如果要求𝑓′′(0)，只能在𝑓′(𝑥)的基础上用定义法求，不能使用求导公式。④高阶导数常用处理方法：（1）多项式分母因式分解法。（2）莱布尼兹公式法。（3）先求出一阶导，有时还要求二阶导，然后让他们与多项式相乘，构造等式。（4）展开式的唯一性法。⑤判断极值点和拐点时，不要忘了第二充分条件，利用𝑓′′(𝑥0)和𝑓′′′(𝑥0)来判断。拐点第二充分条件：𝑓′′(𝑥0)=0，𝑓′′′(𝑥0)≠0。⑥求斜渐近线时，别忘了𝑥→+∞和𝑥→−∞两种情况，可能有两条！第三章节：中值定理基础知识：①费马定理：极值不在区间端点取到，则𝑓′(𝑥)=0必在区间内部取到。②拉格朗日增量形式：𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)=𝑓′[𝑎+𝜃(𝑏−𝑎)](𝑏−𝑎)，其中0𝜃1③拉格朗日余项：𝑓𝑛+1(𝜉)(𝑛+1)!(𝑥−𝑥0)𝑛+1④佩亚诺余项：o((𝑥−𝑥0)𝑛)⑤常用函数求导模型：（1）𝑓′(𝑥)+𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑒∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑓(𝑥)，例如：𝑓′(𝑥)−𝜆𝑓(𝑥)=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑒−𝜆𝑥𝑓(𝑥)；𝑓′′(𝑥)+𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑒∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑓′(𝑥)（2）𝑓(𝑥)𝑔′′(𝑥)−𝑔(𝑥)𝑓′′(𝑥)=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)−𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)（3）𝑓(𝑥)+𝑓′′(𝑥)=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑓2(𝑥)+[𝑓′(𝑥)]2（4）𝑓(𝑥)−𝑓′′(𝑥)=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑒𝑥[𝑓(𝑥)−𝑓′(𝑥)]原函数⇒𝐹(𝑥)=−𝑓(𝑥)𝑒𝑥（5）𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)−[𝑓′(𝑥)]2=0原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)原函数⇒𝐹(𝑥)=𝑙𝑛𝑓(𝑥)牢记：找母亲不行就找外婆，往已知条件上靠。解题技巧：①使用拉格朗日中值定理的情况：（1）需要寻找𝑓(𝑥)和𝑓′(𝑥)的关系，尤其是已知特定点的函数值𝑓(𝑥0)=𝑎（2）时常需要在区间(a,b)内再进行划分(a,ξ)、(ξ,b)；特别地，当题干中的(a,b)在式子中高度对称时，往往取ξ=𝑎+𝑏2②使用泰勒展开的情况：（1）要求的为高阶导数。（2）给出了𝑓′(𝑥)、𝑓′′(𝑥)等的取值范围。（3）当题干中的(a,b)在式子中高度对称时，展开点往往取x=𝑎+𝑏2（4）别的方法都行不通，泰勒展开试试。③柯西中值定理的两种题型：（1）单中值型：证明𝑎𝑓(𝑏)−𝑏𝑓(𝑎)𝑎−𝑏=𝑓(𝜉)−𝜉𝑓′(𝜉)解：𝑓(𝑏)𝑏−𝑓(𝑎)𝑎1𝑏−1𝑎=𝑓(𝜉)−𝜉𝑓′(𝜉)，则F(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥，𝑔(𝑥)=1𝑥，𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)=𝐹′(𝜉)𝑔′(𝜉)（2）双中值型：证明𝑓′(𝜂)𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑏2=𝑓′(𝜉)𝑠𝑖𝑛𝜂𝑐𝑜𝑠𝜉解：𝑓′(𝜉)𝑐𝑜𝑠𝜉𝑓′(𝜂)𝑠𝑖𝑛𝜂=𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑏2，则𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥，ℎ(𝑥)=−𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑓′(𝜉)𝑔′(𝜉)𝑓′(𝜂)ℎ′(𝜂)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)ℎ(𝑏)−ℎ(𝑎)第四章节：微分不等式罗尔原话：若𝑓𝑛(𝑥)=0至多有k个根，则𝑓(𝑥)=0至多有k+n个根。实根定理：实系数奇次方程至少有一个实根。基本不等式：21𝑎+1𝑏≤√𝑎𝑏≤𝑎+𝑏2≤√𝑎2+𝑏22第五章节：积分不定积分：①求不定积分一定不要忘记常数C。②原函数存在定理：含有第一类间断点、无穷间断点的函数必没有原函数。仅含有振荡间断点的函数有原函数。③有关原函数各种定理的证明，马上想到导数的定义。④子孙三代的奇偶性、周期性：（1）一切函数求导后奇偶性改变。（2）𝑓(𝑥)为奇无条件→∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥𝑎为偶；𝑓(𝑥)为偶∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢0𝑎→∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥𝑎为奇。（3）∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥𝑎周期为T∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=0𝑇0←𝑓(𝑥)周期为T无条件→𝑓′(𝑡)周期为T（4）推论：若奇函数𝑓(𝑥)为周期函数，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=0𝑇0⑤常用手段：（1）对根号内进行变形后，三角换元。（2）代换不掉的根号整体换元。（3）分母幂次过高，倒代换。（4）𝑎𝑥、𝑒𝑥、𝑙𝑛𝑥、𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥、𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥等常常被直接代换，甚至考虑整个式子代换。（5）幂函数与三角函数相乘，优先考虑分部积分。（6）有理函数：(ax+b)→𝐴𝑎𝑥+𝑏；(𝑎𝑥+𝑏)2→𝐴𝑎𝑥+𝑏+𝐵(𝑎𝑥+𝑏)2；𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟→𝐴𝑥+𝐵𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟（7）分母有𝑒−𝑥、𝑒3−𝑥之类的，利用𝑒−𝑥·𝑒𝑥=1上下同乘化为正。（8）实在积不出来的部分，不可求积可抵消，拆成∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥，对其中求完导能转化成另一项的那项进行分部积分，消除积不出来的部分。1.∫𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=∫𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=∫𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥+𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥−∫𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥2.∫𝑥𝑒𝑥(1+𝑥)2𝑑𝑥=∫𝑒𝑥1+𝑥𝑑𝑥−∫𝑒𝑥(1+𝑥)2𝑑𝑥=𝑒𝑥1+𝑥+∫𝑒𝑥(1+𝑥)2𝑑𝑥−∫𝑒𝑥(1+𝑥)2𝑑𝑥3.设𝐼𝑛=∫(𝑥2−1)𝑛𝑑𝑥−11，则𝐼𝑛=𝑥(𝑥2−1)𝑛|1−1−2𝑛∫𝑥2(𝑥2−1)𝑛−1𝑑𝑥−11=−2𝑛∫(𝑥2−1)(𝑥2−1)𝑛−1+(𝑥2−1)𝑛−1𝑑𝑥=−2𝑛𝐼𝑛−2𝑛𝐼𝑛−1−11定积分：①定积分存在充分条件：𝑓(𝑥)连续，或有界且只有有限个间断点。②定积分存在必要条件：𝑓(𝑥)在积分区间上必须有界。