2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛数学专业(B类)试题

12019年第十一届全国大学生数学竞赛数学专业竞赛（B卷）试题一、（本题15分）设1L和2L是空间中的两条不垂直的异面直线，点B是它们公垂线段的中点。点1A和2A分别在1L和2L上滑动，使得12ABAB.证明直线12AA的轨迹是单叶双曲面。二、(本题10分)计算220190d.11xxx三、(本题15分)设数列nx满足：110,ln1,1,2,nnxxxn.证明：nx收敛并求其极限值.四、(本题15分)设1,,n是n维实线性空间V的一组基，令1210nn证明：（1）对11111,2,,1,,,,,,iinin都构成V的基；（2）V，在（1）中的1n组基中，必存在一组基使在此基下的坐标分量均非负；（3）若1122nnaaa，且(1,2,,)iain互不相同，则在（1）中的1n组基中，满足（2）中非负坐标表示的基是唯一的.五、(本题20分)设A是数域F上的n阶矩阵，若2nnAII表示单位矩阵），则称A为对合矩阵.试证：（1）若A是n阶对合矩阵，则rankranknnIAIAn；（2）n阶对合矩阵A一定可以对角化，其相似对角形为00rnrII，其中ranknArI；（3）若A，B均是n阶对合矩阵，且ABBA，则存在可逆矩阵P，使得1PAP和1PBP同时为对角矩阵.六、(本题15分)设函数fx为闭区间,ab上的连续凹函数，满足0,0fafb且fx在xa处存在非零的右导数.对2n，记211:(),[,]nnnkkkkkSkxkfxfbxab（1）证明对(0,())fb，存在唯一(,)xab使得fx；（2）求limsupinf.nnnSS七、(本题10分)设正项级数11nna收敛.证明级数221nnnnaS收敛，其中1nkknaS.