新型产品推出规划模型

新型产品推出规划模型摘要如今，随着党中央、国务院作出的建设创新型国家的决策，发展创新正日趋受到社会各界的关注。本文解决的是作为创新型企业所面临的新型产品推出的规划问题。对于这一类图论及网络流问题，我们首先通过建立计划网络图将问题简明化。然后将实际问题作为目标函数，采用最短路径，关键路线算法，建立线性优化模型，0-1线性规划模型等数学模型，利用lingo软件编程求解。由模型计算得到：可得完成新产品的最短时间为20周；各项作业的最早开始时间、最迟开始时间；计划网络的关键路线①→②→④→⑤→⑥→⑦→⑧；21周内上市的概率为0.6809515，以及95%的概率完成新产品上市所需的周数为23.08084周。该模型具有一定实际意义。关键词创新最短路径0-1线性规划模型lingo§1问题的重述《BusinessWeek》2010年世界最具创新力企业排行榜出台，苹果、Google、微软、比亚迪、海尔、Facebook等品牌纷纷上榜，从中我们看出一些规律：致力于创新的这些企业，在行业市场份额和收入皆屡创佳绩。把创新提高到战略地位并以其为核心展开运作，才能在竞争中保持主动，并走在潮流的前端。因此作为任何一家正规注册的公司，新型产品的推出对于公司的发展十分重要。但是新型产品的推出也需要进行一定的规划，已达到满足市场需求和实现公司利益最大化的需要。在这里我们根据数学建模的相关知识，试图建立一个合适的数学模型，解决公司企业的新型产品推出规划需要。主要要解决的问题有以下几个：1）利用给出的任务表，画出产品推出规划模式图，建立工程实际中网络优化问题的数学模型；2）利用建立起来的模型，对公司规划完成新产品的最短时间，各项作业的最早开始时间、最迟开始时间和计划网络的关键路线等问题的求解；3）对各项作业的完成时间并不能完全确定的情况，利用模型进行分析计算。§2问题的分析（一）问题一的分析由于工程实际中的问题均有一定的复杂性，计划网络图又具有清晰地表示工作的内在逻辑关系的优点，因此计划网络图的构建对于问题的简化和清晰化十分重要。根据所给出的任务表，分析个作业间的逻辑关系，再根据计划网络图的制作要求制作出完整的计划网络图即可。（二）问题二的分析此题我们将完成新产品的最短时间作为目标函数，建立优化模型，将事件j的开始时间小于等于事件i开始时间加作业(i,j)计划时间tij作为约束条件。通过lingo软件得到最优解。同样，对于各项作业的最早开始时间、最迟开始时间问题，引入松弛变量，建立lingo模型，求得正解。对于计划网络的关键路线问题，采用传统的0-1线性规划模型，通过lingo软件求解。（三）问题三的分析由于市场环境的影响，公司计划在春节期间推出该产品。时间为12周。这要求我们在尽可能降低成本的情况下，提前n周完成作业。这里可以以总花费最小为目标函数，以产品推出时间和各项作业可能减少的时间为约束条件，建立模型，利用lingo软件求解。（四）问题四的分析实际工程项目中各项作业的完成时间并不能完全确定，而是根据以往的经验估计出来的，这里我们可以通过最乐观估计，最悲观估计和最可能估计建立作业完成时间的期望和方差模型，利用分布函数以及lingo软件估算出上市概率。§3模型的假设1）题目所给数据均无误；2）不考虑任何特殊事故原因导致作业时间改变；3）公司在推出新产品期间无任何大的政策改变；4）不考虑公司生产能力的制约；§4名词解释与符号说明ija:表示事件，在计划网络图中为一个节点，i=1,...,8分别代表图中八个节点；H:所有事件的集合；G:所有作业的集合；ijS：松弛变量；ijt:作业(i,j)计划时间；ijm：作业(i,j)的最短时间；ijy:作业(i,j)可能减少和时间；ijc:作业缩短一周的费用；§5模型的建立与求解（一）问题一模型建立与求解分析所给任务表，所给作业共有A、B、C、D、E、F、G、H八项，在计划网络图中，我们用箭线表示。箭尾表示该项作业的开始，箭头表示该项作业的完成。箭头的方向表示作业的进行方向（从左到右）。作业的名称用英文字母表示写在箭线的下面，持续时间写在箭线的上面。所做节点表示作业之间的联结，在时间上表示某节点的作业全部完成之后，该节点后面的工作才能开始。数学上为一个事件。节点用圆圈表示，圆圈中编上整数号码。注意节点①和节点⑤之间的虚线箭线表示的是虚工作，仅仅表示工作之间的先后顺序，持续时间为0。根据以上分析，建立计划网络图如下:计划网络图（二）问题二模型建立与求解模型1.1xi事件i的开始时间，1为最初事件，n为最终事件。（本题中n=8)设tij是作业(i,j)的计划时间，H是所有事件的集合，G是所有作业的集合。目标函数为总工期最短，约束条件：事件j的开始时间小于等于事件i开始时间加作业(i,j)计划时间tij。目标函数：1min.,,,0,njiijixxstxxtijGiHxiH运用lingo软件编程求解（附录1）：可得完成新产品的最短时间为20周。模型1.2目标函数：作业的开始时间尽可能的早iiHx引进作业队弧上的松弛变量Sij,且,,ijjiijSxxtijG运用lingo软件编程求解（附录2）：作业时间（周）项目最早开始时间最迟开始时间A00B00C66D99E1111F516G1414H1818模型1.3设xij为0-1变量，当作业(i,j)位于关键路线上取1，否则取0，数学模型为：Gjiijijxt),(maxGjixniniixxtsjiGjijjiGjijij),(,10,10111.,),(1),(1或运用lingo软件编程求解（附录3）：关键路线：①→②→④→⑤→⑥→⑦→⑧（三）问题三模型建立与求解计划要求新型产品的推出在12周内完成。设xi事件i的开始时间，tij是作业(i,j)的计划时间，mij是作业(i,j)的最短时间，yij是作业(i,j)可能减少和时间，d为要求完成的周数，1为最初事件，n为最终事件。建立模型：Gjiijijyc),(minHiGjimtydxxHiGjityxxtsijijijnijijij,),(,0,,),(,.1运用lingo软件编程求解（附录4）：解得作业（1,2）A可压缩1周，作业（2,4）C可压缩2周，作业（4,5）D可压缩1周，作业（5,6）E可压缩2周，作业（6,7）可压缩1周。这样可在12周完工。需多花3200元。（四）问题四模型建立与求解设tij是完成作业(i,j)的实际时间（是一随机变量）最乐观的估计值(a)，最悲观的估计值(b)，最可能的估计值(m)设T为最短工期，d为规定工期。模型算法：计算出各作业时间的期望与方差；计算出关键路径；计算关键路径的期望与方差的估计值；利用分布函数@psn(x)计算完成作业的概率与完成整个项目的时间。作业数据作业（周）ABCDEFGH最乐观估计(a)24211321最可能估计(m)65323442最悲观估计(b)106435564建立模型：64ijijijijbmatE362ijijijabtD关键路线),(jiijtT关键路线),()()(jiijtETET关键路线),(2)()(jiijtDTDSSTddTP运用lingo软件编程求解（附录5）：完成作业时间为21周，关键路线期望时间为20.16667，标准差为：1.771692，21周内上市的概率为0.6809515，以95%的概率完成新产品上市所需的周数为23.08084周。§6模型的评价§7参考文献[1]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2005.7.[2]肖华勇.实用数学建模与软件应用.西安:西北工业大学出版社，2008.11.[3]李尚志.数学建模竞赛教程.南京：江苏教育出版社，1996.6.[4]徐俊明.图论及其应用.合肥：中国科学技术大学出版社，1998.1.§8附录附录1：model:[_1]min=x8-x1;[_2]x2-x1=6;[_3]x3-x1=5;[_4]x4-x2=3;[_5]x5-x4=2;[_6]x6-x5=3;[_7]x7-x3=2;[_8]x7-x6=4;[_9]x8-x7=2;EndLingo求解：附录2：sets:events/1..8/:x;operate(events,events)/!ABCDEFGH;1,21,32,44,55,63,76,77,8/:s,t;endsetsdata:t=65323242;enddatamin=@sum(events:x);@for(operate(i,j):s(i,j)=x(j)-x(i)-t(i,j));Lingo求解：附录3：sets:events/1..8/:d;operate(events,events)/1,21,32,44,55,63,76,77,8/:t,x;endsetsdata:t=65323242;d=1000000-1;enddatamax=@sum(operate:t*x);@for(events(i):@sum(operate(i,j):x(i,j))-@sum(operate(j,i):x(j,i))=d(i););Lingo求解：附录4：min=800*y12+600*y13+300*y24+600*y45+400*y56+300*y37+200*y67;0=y12;y12=2;0=y13;y13=2;0=y24;y24=2;0=y45;y45=1;0=y56;y56=2;0=y37;y37=1;0=y67;y67=2;x2-x1+y12=6;x3-x1+y13=5;x4-x2+y24=3;x5-x4+y45=2;x6-x5+y56=3;x7-x3+y37=2;x7-x6+y67=4;x8-x7=2;x8-x1=12;end附录5：sets:events/1..8/:d;operate(events,events)/!ABCDEFGH;1,21,32,44,55,63,76,77,8/:a,m,b,et,dt,x;endsetsdata:a=24211321;m=65323442;b=106435564;d=1000000-1;limit=21;enddata@for(operate:et=(a+4*m+b)/6;dt=(b-a)^2/36;);max=Tbar;Tbar=@sum(operate:et*x);@for(events(i):@sum(operate(i,j):x(i,j))-@sum(operate(j,i):x(j,i))=d(i););S^2=@sum(operate:dt*x);p=@psn((limit-Tbar)/S);@psn((weeks-Tbar)/S)=0.95;