排列组合-拔高难度-讲义(1)

排列组合知识讲解一、排列1.排列：一般地，从n个不同的元素中任取()mmn≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）2.排列数：从n个不同的元素中取出()mmn≤个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．3.排列数公式：A(1)(2)(1)mnnnnnm，mnN，，并且mn≤．4.全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．5.n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示．规定：0!1．二、组合1.组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．2.组合数：从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．3.组合数公式：(1)(2)(1)!C!!()!mnnnnnmnmmnm，,mnN，并且mn≤．组合数的两个性质：①CCmnmnn；②11CCCmmmnnn．（规定0C1n）三、排列组合一些常用方法1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3.排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6.插板法：n个相同元素，分成()mmn≤组，每组至少一个的分组问题——把n个元素排成一排，从1n个空中选1m个空，各插一个隔板，有11mnC．7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m！8.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．四、实际问题的解题策略1.排列与组合应用题三种解决途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．注意：求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2.具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典型例题一．选择题（共2小题）1．（2018•合肥三模）如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A．24B．48C．96D．120【解答】解：第一类：若A，D相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4×3×2=24种，第二类，若A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有1种涂法，当B和D不同时，B，C只有一种涂法，共有4×3×2×（1+1）=48种，根据分类计数原理可得，共有24+48=72种，故选：C．2．（2018•大荔县模拟）如图所示的五个区域中，要求在每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，现有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为（）A．64B．72C．84D．96【解答】解：分两种情况：（1）A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，有4×3×2=24种；（2）A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，有4×3×2×2=48种．共有72种，故选：B．二．解答题（共16小题）3．（2018春•金凤区校级期末）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；（用数字回答）【解答】解：（1）先取后排，女生1人男生4人，女生2人男生3人，共有C31C54+C32C53，再把从中选出5人担任5门不同学科的科代表有A55，故共有（C31C54+C32C53）A55=5400种，（2）先安排这一名男生，再从剩下的7人中选4人安排剩下的4门学科，共有C41A74=3360种．4．（2018春•历下区校级期中）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？（4）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：①，将3个男生全排列，有A33种排法，排好后有4个空位，②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A44种排法，则一共有𝐴33𝐴44=144种排法；（2）根据题意，分2种情况讨论：①，男生甲在最右边，有A66=720，②，男生甲不站最左边也不在最右边，有A51A51A55=3000，则有720+3000﹣3720种排法；（3）根据题意，分2步进行分析：①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C32C42种选取方法，②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，则有𝐶32𝐶42𝐴44=432种不同的安排方法；（4）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①，将4名女生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，则有𝐴44𝐴52=480种排法．5．（2017春•林芝地区期末）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）（Ⅰ）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（Ⅱ）任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（Ⅲ）甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？【解答】解：（Ⅰ）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有𝐴33𝐴55=720种．（Ⅱ）男生排好后，5个空再插女生有𝐴44𝐴53=1440种．（Ⅲ）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有𝐴22𝐴53𝐴33=720种．6．（2017春•金台区期末）有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生．（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解答】解：（1）先取后排，有𝐶53𝐶32+𝐶54𝐶31种，后排有𝐴55种，共有（𝐶53𝐶32+𝐶54𝐶31）𝐴55=5400种．…．（3分）（2）除去该女生后先取后排：𝐶74𝐴44=840种．…..（6分）（3）先取后排，但先安排该男生：𝐶74𝐶41𝐴44=3360种．…..（9分）（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有𝐶63种，再安排该男生有𝐶31种，其余3人全排有𝐴33种，共𝐶63𝐶31𝐴33=360种．…（12分）7．（2017春•平安县校级期中）五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（用数字作答）（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙两人不相邻；（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）甲在乙前，并且乙在丙前．【解答】解：（1）把甲、乙看成一个人来排有𝐴44种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法种数为𝐴44⋅𝐴22=48种，（2）排除甲乙之外的3人，形成4个空，再把甲乙插入空位有𝐴33𝐴42=72，（3）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：𝐴55﹣2𝐴44+𝐴33=78种，（4）因为甲、乙、丙共有3！种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：𝐴55÷3！=20种，8．（2017春•南岸区校级期中）现由某校高二年级四个班学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【解答】解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，即有C341=34种选法；（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，从四班选一名组长，有10种情况，所以每班选一名组长，共有不同的选法N=7×8×9×10=5040（种）．（3）根据题意，分六种情况讨论，①从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；②从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法，③从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；④从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；⑤从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；⑥从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）．9．（2017春•诸暨市校级期中）7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变；（4）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法；（5）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法．【解答】解：（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，故有𝐴22𝐴66=1440种，（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列，故有𝐴52𝐴22𝐴44=960种，（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人，故有𝐶81𝐶91𝐶101=720种，（4）（分步计数法），从7人中任取3人，如a，b，c，则改变原位置站法有2种，b，c，a和c，a，b，固有𝐶73×2=70种，（5）（定序法），先全排列，再除以顺序数，故有𝐴77𝐴33=840种，10．（2017春•广东期中）用0，1，2，3，4，5，6这七个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（3）能组成多少个无重复数字且比31560大的五位数？【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①、个位从1，3，5选择一个，有𝐶31种选法，②、千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有�