历届最近十年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)

新知杯模拟试题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1.对于任意实数ba,，定义ba=bbaa)(，已知5.285.2a，则实数a的值是_________。2.在三角形ABC中，，其中，，aCAaBCbAB2122ba,是大于1的整数，则ab。3.一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。4.已知关于x的方程02)2()3(2234kxkxkxx有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。5.如图，直角三角形ABC中1AC，2BC，P为斜边AB上一动点。BCPE,CAPF，则线段EF长的最小值为。6.设ba,是方程01682xx的两个根，dc，是方程01862xx的两个根，则dbdacbca的值为。7.在平面直角坐标系中有两点1,1P，2,2Q,函数1kxy的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。8.方程2009xyz的所有整数解有组。9.如图，四边形ABCD中CDBCAB,78ABC,162BCD。设BCAD,延长线交于E，则AEB_________________.EDCBAFEDCBAFECBAP10.如图，在直角梯形ABCD中，90BCDABC,10BCAB,点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是________________。二、（本题15分）如图，ABC中，90ACB,点D在CA上，使得，，31ADCD并且，BACBDC3求BC的长。DCABEDCAB三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：2cdababcd，其中数字c可以是0。DABCM四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。五、（本题15分）若两个实数ba,使得22baba与都是有理数，称数对ba,是和谐的。①试找出一对无理数，使得ba,是和谐的；②证明：若ba,是和谐的，且ba是不等于1的有理数，则ba,都是有理数；③证明：若ba,是和谐的，且ba是有理数，则ba,都是有理数。新知杯模拟试题（参考答案）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1.对于任意实数ba,，定义ba=bbaa)(，已知5.285.2a，则实数a的值是_________。【答案】4或213【解析】5.285.25.2aa，265.22aa，052522aa，04132aa，所以4a或2132.在三角形ABC中，，其中，，aCAaBCbAB2122ba,是大于1的整数，则ab。【答案】0【解析1】若aaabab21)1(1,222则，即.CABCAB矛盾若ab，则aaabab21)1(1,1222，即CABCAB矛盾，0ab【解析2】ba,是大于1的整数，所以2a，此时0222aaaaCABC，CABCABCABC，即aabaa212222，22211aba，即aba1，ab，即0ab3.一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。【答案】50，94【解析】设两边长分别为x和y，则922xy，23246146xy，所以周长为944612或5023224.已知关于x的方程02)2()3(2234kxkxkxx有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为。【答案】5【解析】原方程可化为02,0))(2(222xxkxxxx02kxx，2k，022xx，1,221xx，即5142221xx5.如图，直角三角形ABC中1AC，2BC，P为斜边AB上一动点。BCPE,CAPF，则线段EF长的最小值为。FECBAP【答案】552【解析】设xCF，yEC，则BCBECAEP，所以221yx，xy22，54545485)22(2222222xxxxxyxEF，当54x，52y时，55254EF最小。6.设ba,是方程01682xx的两个根，dc，是方程01862xx的两个根，则dbdacbca的值为。【答案】2772【解析】68ba，1ab，86dc，1cd，dbdacbca2222681681))()()((ddccddbaabccbaab277215418)6886)(6886(cdddcc7.在平面直角坐标系中有两点1,1P，2,2Q,函数1kxy的图像与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是。【答案】3123k【解析】3112121k，3212022k2331k8.方程2009xyz的所有整数解有组。【答案】72【解析】414914177200911172872009正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组9.如图，四边形ABCD中CDBCAB,78ABC,162BCD。设BCAD,延长线交于E，则AEB_________________.EDCBAFEDCBA【答案】21【解析】作AF∥BC，FC∥AB，易知，四边形ABCF为平行四边形，102180ABCFCBBAF，60102162FCD，CDF是等边三角形，即AFD为等腰三角形，1386078AFD,21FAEAEB10.如图，在直角梯形ABCD中，90BCDABC,10BCAB,点M在BC上，使得ADM是正三角形，则ABM与DCM的面积和是________________。DABCMDABHCM【答案】3150300【解析】将图补成正方形，易知ABM≌AHD，令xHDBM，则xCMCD10，由勾股定理得2222101010xxx，解得31020x，315030010310213102010212S二、（本题15分）如图，ABC中，90ACB,点D在CA上，使得，，31ADCD并且，BACBDC3求BC的长。DCABEDCAB【答案】11114BC。【解析】设xBC，则，，16122xABxBD作DBA的平分线交AC于点E，AABDCDBADBE2121BE，则BDE∽ADB,所以DEDADEBD32，由角平分线定理可知，。BDABBDDEBDABBDDEAEDEABBDAEDE3因此，1161912222xxxx解得11114xBC。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：2cdababcd，其中数字c可以是0。【答案】3025,2025,9801abcd【解析】设abx，cdy，则由题意得2100yxyx，即0100222yyxyx，因为x为整数，2224992500441002tyyyy，tty505099，500t，且在100内11的倍数只有9个，经验证，49t时，1y，5t时，25y，解得198yx，2520yx，2530yx，因此，3025,2025,9801abcd四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。【解析】由于2222222222222243,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2这14个合数都小于2009且两两互质，因此。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数1521,,,aaa的最小素因子,,,,1521ppp则必有一个素数,47不失一般性，设，4715p由于15p是合数15a的最小素因子，因此，200947221515pa矛盾。所以，任意15个大于1且不超过2009的互质整数1521,,aaa中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。五、（本题15分）若两个实数ba,使得22baba与都是有理数，称数对ba,是和谐的。④试找出一对无理数，使得ba,是和谐的；⑤证明：若ba,是和谐的，且ba是不等于1的有理数，则ba,都是有理数；⑥证明：若ba,是和谐的，且ba是有理数，则ba,都是有理数。【解析】①不难验证221,212),(ba是和谐的。②由已知122babababat是有理数，sba是有理数，所以1batba，解得）（121stsa是有理数，所以asb也是有理数。若02ba，则bab是有理数，因此22bbaa也是有理数。若02ba，由已知1)1)(()1()(222bbabbababax是有理数，bay也是有理数，因此112xyxyb，故xyxyb21是有理数，因此22)(bbaa也是有理数。2013上海市初中数学竞赛(新知杯)（2013年12月8日上午9:00~11:00）题号一（1~8）二总分9101112得分评卷复核一、填空题(每题10分)1.已知721,721ba，则.________33bbaa2.已知43214321//////,//////mmmmllll，._______,20,100EFGHILKJABCDSSS则3.已知FEACABA、，,8,690在AB上且3,2BFAE过点E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则.__________GF4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321xfaaaaa为二次三项式；当1ax或者5432aaaax时，5)(xf，当21aax时，,)(pxf当543aaax时，qxf)(，则.________qp5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.6.已知关于x的一元二次方程0)2)(1(2mmaxx对于任意的实数a都有实数根，则m的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，CDEABEBCE,,的重心分别为321,,GGG，那么321GGG的面积为________________.8.直角三角形斜边AB上的高3CD，延长DC到P使得2CP，过B作APBF交CD于E，交AP于F，则._________DE二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9.已知90BAC，四边形ADEF是正方形且边长为1，求CABCAB111的最大值.10.已知a是不为0的实数，求解方程组：axyxyayxxy111.已知：,1nnaaaa,,,,321为整数且2013321321nnaaaaaaaa，求n的最小值.12.已知正整数dca、、、b满足),13(),13(22dcbdca求所有满足条件的d的值.答案：1.271022.6