小学数学解题思路技巧：怎样数图形的个数

小学数学解题思路技巧：怎样数图形的个数［知识要点］１．怎样数一条直线上线段的条数？一条线上有n条独立线段，我们将它们编号为1，2，3，…，n，则这条直线上所有线段的条数是：1＋2＋3＋…＋n２．用数线段条数的方法，数角、三角形、长方形和立方体的个数。［范例解析］例1数出图5-1中各条线上线段的总条数。⑴└──┴──┴──┘⑵└─┴─┴─┴─┴─┴─┘⑶└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-1分析⑴图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图5-2：123└──┴──┴──┘图5-2现在，我们这样来数，其中单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条；由两条独立线段合并成一条线段的有：（1，2）、（2，3）这两条；由三条独立线段合并成一条线段的有：（1，2，3）这一条。由3＋2＋1=6（条），我们数得图中有6条线段，他趣的是，这个得数6正是我们所编号码1、2、3这三个连续数的和。这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的结果。⑵我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图5-3：123456└─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-3单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条；两条合并成一条有：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）一共5条；三条并成一条的有：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）一共有4条；四条并成一条的有：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）一共有3条；五条并成一条的有：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）一共有2条；六条并成一条的有：（1，2，3，4，5、6）只1条。总条数也正好是编号的六和连续数的和，即1＋2＋3＋4＋5＋621（条）。⑶将图5-4中的单独线段进行编号如下：123456789└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-4单独线段：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、⑺、⑻、⑼一共9条；两合一线段：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）、（6，7）、（7，8）、（8，9）一共8条；三合一线段：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）、（5，6，7）、（6，7，8）、（7，8，9）一共有7条；四合一线段：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）、（4，5，6，7）、（5，6，7，8）、（6，7，8，9）一共有6条；五合一线段：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）、（3，4，5，6，7）、（4，5，6，7，8）、（5，6，7，8，9）一共有5条；六合一线段：（1，2，3，4，5，6）、（2，3，4，5，6，7）、（3，4，5，6，7，8）、（4，5，6，7，8，9）一共有4条；七合一线段：（1，2，3，4，5，6，7）、（2，3，4，5，6，7，8）、（3，4，5，6，7，8，9）一共有3条；八合一线段：（1，2，3，4，5，6，7，8）、（2，3，4，5，6，7，8，9）一共有2条；九合一线段：（1，2，3，4，5、6，7，8，9）只1条。所有线段的总和也正好是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45（条）说明从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏掉。运用这种方法，我们还可数其他的图形的个数。例2数一数，图5-5中一共有多少个三角形？解将图中单独三角形1~5编号，一共有三角形是：1＋2＋3＋4＋5=15（个）。例3图5-6中有多少个角，你会数吗？解将单独的角按1~7编号，可计算出共有角是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=28（个）。例4数出图5-7中长方形的个数。解将图5-7中独立的长方形按1~12编号，可计算出长方形的个数是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋＋7＋8＋9＋10＋11＋12=78（个）。例5数出图5-8中长方形的个数。解我们将原图分类，一类一类的数，最后求总数。（每一类用阴影表示）总共是：6×3=18（个）。说明我们也可以这样数，长方形的长和宽可看成是两条线段，长有3太哦独立线段，宽有2条独立线段，总数是：（1＋2＋3）×（1＋2）=18（个）。例6数出图5-10中长方体的个数。分析此题虽是数长方体的个数，但它可转化成数长方形的个数来解决，因为长方体的表面就是一个长方形，这种转化的可能的。仿例5，同样可将问题分成三类来数。第一类有：4＋3＋2＋1=10（个），第二类有：4＋3＋2＋1=10（个），第三类有：4＋3＋2＋1=10（个），总共有：10×3=30（个）。例7请你数出图5-11中三角形的个数。解很明显，我们可将问题分成如图5-12的三类来研究：其中每一类都是：1＋2＋3=6（个）。总共是：6×3=18（个）。［思路技巧］数线段的重要规律是“单条线上线段的总数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个林许数）。这个规律，可以扩展到数图形的数。［习题精选］１．数出图5-13中各线上线段的条数：⑴└─┴─┴─┴─┴─┘⑵└─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-13２．数一数图5-14交叉线上的线段共有几条？３．在图5-15的扇子中的角共有多少个？４．请你数一数图5-16中有多少个角？５．如图5-17，地上有六根木桩，每两根之间牵一线，一共要牵多少根？６．数一数图5-18中三角形的个数。７．数出图5-19中长方形的个数。８．数一数，图5-20中有多少个长方体？９．数一数，图5-21中有多少个正方形？多少个长方形？多少个三角形？