北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1北师大版九年级上册数学1.2矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。2.矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质.（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD，OA=OC=OB=OD．矩形中相等的角：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是()A．2B．3C．4D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是()A．30°B．22.5°C．15°D．10°23．如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为()A．15°B．25°C．35°D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为()A．3B．4C．5D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为()A．5B．8C．13D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.温馨提示①若易证是平行四边形,则再证角为直角或对角线相等,即可得矩形；3②四个角均相等的四边形是矩形；③有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。【练习】第1题第2题第5题1.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是()A．AO＝OCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．BD平分∠ABC3.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝.求四边形ABCD的周长．4.下列命题错误的是()A．有三个角是直角的四边形是矩形B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是()A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥6.如图，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN是矩形．7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；4(2)若OD＝21AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．【矩形的性质与判定的综合应用练习】1.在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝_______cm.第1题第2题第4题第5题第6题2.如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.4.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为()A．4B．4.8C．5.2D．65.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，则对角线AC的长为________cm.6.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．8.如图，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；5(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【折叠问题专项】1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E，F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点重合，若°，则等于（）A.110°B.115°C.120°D.130°第1题第2题第3题2.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A.6B.10C.8D.123.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是（）A.2B.C.2-2D.2+24.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．5.如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点处，交AD于E。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。66.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。①求EF的长;②求梯形ABCE的面积.7【课后练习】1.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A.5B.6C.7D.8第1题第2题第3题第4题2.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.3.如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=________．4.如图，矩形ABCD中，，，CE是的平分线与边AB的交点，则BE的长为________．5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，（1）求证：AE=CF；（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积．6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．88.如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（）A.4B.12C.6D.3第8题第9题第12题第13题第14题9.如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果等于()A.B.C.D.10.下列识别图形不正确的是（）A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形11.顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是（）A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形12.已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是（）A.菱形B.矩形C.平行四边形D.正方形13.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20cm，则OE长为________cm．14.如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=21FC，则四边形DBFE的面积为________cm2．15.如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若∠BAC=∠C，求证：四边形DBEA是矩形．16.如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．917.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为()A.2B.C.3D.第17题第18题第19题第20题18.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EF⊥EC，DC=，则BE的长为（）A.B.C.4D.219.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（）A.15B.20C.35D.4020.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为________．21.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？22.如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．10答案【矩形的性质】1.A2.C3．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.∵∠AOC＝∠BOD