第11讲：变量之间的关系-教案

变量之间的关系第11讲讲适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点1、常量与变量；2、自变量与因变量；3、用表格表示变量之间的关系；4、用关系式表示两变量之间的关系；5、利用关系式求值；6、用图像表示两变量之间的关系。教学目标1、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子；2、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测；3、能根据具体情景，用表格、关系式、图象表示某些变量之间的关系。教学重点1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感；2、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。教学难点1、找问题中的自变量和因变量；2、根据表格、关系式、图象找自变量和因变量之间的对应关系。【教学建议】本节的教学重点是使学生能够理解变量与常量，并能与实际结合举出相应的变量关系的例子。在充分理解常量与变量的意义的基础上再去学习变量之间关系的三种表示方法，能将三种表示方法进行转换，并能进行简单的计算。学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：1.变量与常量的意义；2.两个变量之间的关系；3.两个变量之间的三种表示方法。【知识导图】概述【教学建议】在学习变量关系时可以从之前知识点引入，让学生理解变量和常量的区别，并能区分自变量和因变量。然后在学习变量关系的三种表示方法时注意与实际问题的结合，让学生自己动手进行探究作图，充分理解三种表示方法之间的联系并能够进行分析计算。要注意表格法、图象法和关系式法之间的互相转换，要让学生理解不同的表示方法适用于何种问题情境，在解题的过程中根据不同的要求能够将变量之间的关系用相应的方法表示出来。1.自变量、因变量、常量；2.常见的变量关系：（1）速度、路程、时间关系；（2）面积、周长计算；（3）单价、总价、数量关系。变量之间的关系变量与常量自变量、因变量常量两个变量之间的表示表格法图象法关系式法知识点1变量的意义二、知识讲解一、导入教学过程1.表格法；2.图象法；3.关系式法；4.三种表示方法间的转换。【题干】在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=ah，当a为定长时，在此式中（）A.S，h是变量，，a是常量B.S，h，a是变量，是常量C.S，h是变量，，S是常量D.S是变量，，a，h是常量【答案】A【解析】考查变量、常量的概念。【题干】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为方．月用水量不超过12方部分超过12方不超过18吨部分超过18方部分收费标准（元/方）22.53【答案】20【解析】解：∵45＞12×2+6×2.5=39，∴用户5月份交水费45元可知5月用水超过了18方，设用水x方，水费为y元，则关系式为y=39+3（x﹣18）．当y=45时，x=20，即用水20方．故答案为：20．例题3例题2例题1三、例题精析知识点2变量间关系的表示【题干】心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30）提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？【答案】见解析。【解析】解：（1）提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量；（2）当x=10时，y=59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59．（3）当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强．（4）由表中数据可知：当2＜x＜13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低．【题干】一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从0时到12时的水深情况，结合图象回答下列问题：（1）如图描述了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？（2）大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？（3）图中A点表示的是什么？（4）在什么时间范围内，水深在增加？什么时间范围内，水深在减少？【答案】见解析【解析】解：（1）表格反映了港口的水深和时间之间的关系，其中时间是自变量，港口的水深是因变量；（2）3时港口的水最深，深度约是7m；（3）图中A点表示的是6时港口的水深；（4）从0时到3时及从9时到12时水深在增加，从3时到9时水深在减少．例题4【题干】如图．正方形ABCD的边长为4cm．P为DC上的点，当点P从C向D移动时，四边形APCB的面积发生了变化．（1）设线段CP长为x，则△APD的面积y可以表示为；（2）这个变化过程中，自变量是，因变量是；（3）当线段CP从1cm增加到3cm时，△APD的面积减小了多少？【答案】（1）8-2x；（2）x，y；（3）4cm2【解析】解：（1）因为线段CP长为x，则DP=CD﹣CP=4﹣x（cm），根据△APD的面积=，∴=8﹣2x．（2）在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y；（3）当CP=1cm时，y=8﹣2×1=6（cm2），当CP=3cm时，y=8﹣2×3=2（cm2），6﹣2=4（cm2），所以△APD的面积减少了4cm2．【教学建议】在学习过程中可以多结合具体问题情境，引导学生主动探索变量间的关系，帮助学生建立完整的知识体系，并要设计难易适中的练习题帮助学生加深理解。1.设路程s，速度v，时间t，在关系式s=vt中，说法正确的是（）A.当s一定时，v是常量，t是变量B.当v一定时，t是常量，s是变量C.当t一定时，t是常量，s，v是变量D.当t一定时，s是常量，v是变量【答案】C【解析】A、当s一定时，s是常量，v、t是变量，故原题说法错误；B、当v一定时，v是常量，t、s是变量，故原题说法错误；C、当t一定时，t是常量，s，v是变量，说法正确；基础四、课堂运用例题5D、当t一定时，t是常量，v、s是变量，故原题说法错误；故选：C．2.某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度xkm的几组对应值如表：向上攀登的高度x/km0.51.01.52.0气温y/℃2.0﹣1.0﹣4.0﹣7.0若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.3km时，登山队所在位置的气温约为_____℃．【答案】-8.8【解析】解：根据表格数据发现，每向上攀登0.5KM，气温降低3℃。∴2.3km时气温为：-7.0℃3.李小勇的爸爸让他去商店买瓶酱油，下图近似地描述了李小勇和家之间的距离与他离家后的时间之间的关系，则(1)李小勇去买瓶酱油共花了___min，其中在路上行走了____min，他走路的平均速度是_____；(2)李小勇在买酱油的过程中有_______次停顿，其中第_____次是因为买酱油付钱而停顿的；(3)李小勇在途中另一处停顿的原因是_____________.(只要写得合理都对)【答案】（1）8，6，150米/分；（2）2，2；（3）略【解析】根据图象分析判断。4.如图,圆柱的底面半径为2cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化.(1)在这个变化过程中,自变量是_______,因变量是________.(2)如果圆柱的高为x(cm),圆柱的体积V(cm3)与x的关系式为_____.(3)当圆柱的高由2cm变化到4cm时,圆柱的体积由_______cm3变化到_______cm3.(4)当圆柱的高每增加1cm时,它的体积增加________cm3.【答案】（1）圆柱的高，圆柱的体积；(2)V=4x；(3)8，16；(4)4【解析】考查关系式法表示两个变量关系，根据关系式进行计算即可。1.笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量．上述判断正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A.【解析】解：由题意得：y=3a，此问题中a、y都是变量，3是常量，则③正确，故选：A．2.在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（）m1234巩固v0.012.98.0315.1A.v=2m﹣2B.v=m2﹣1C.v=3m﹣3D.v=m+1【答案】B【解析】当m=4时，A、v=2m﹣2=6；B、v=m2﹣1=15；C、v=3m﹣3=9；D、v=m+1=5．故选B．3.下列各图均是用有一定规律的点组成的图案，用S表示第n个图案中点的总数，则S＝_______。（用含n的式子表示）【答案】19n【解析】找出规律进行计算。4.如图，圆柱的高是5cm，当圆柱的底面半径由小变大时，圆柱的体积也随之发生变化。(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2)如果圆柱底面半径为r(cm)，体积为V(cm3)，则V与r之间有什么关系？(3)当底面半径为2cm时，圆柱体体积是多少？(4)当圆柱体的体积为500πcm2时，底面半径是多少？(5)圆柱体的体积随底面半径的增大怎样变化？【答案】见解析。【解析】（1）)在这个变化过程中自变量是圆柱的底面半径，因变量是圆柱的体积；（2）（3）当r=2cm时，v=5π×4=20π（）答：圆柱体体积是20π.（4）圆柱体的体积随底面半径的增大而增大。1.根据如图所示的程序图计算代数式的值,若输入的x的值为32,则输出的y值为（）.A.27B.49C.21D.29【答案】D.【解析】由题可知当输入32时满足y=x+2代入答案为29，选择D2.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）答案】B【解析】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选：B．3.将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，粘合部分的宽为3cm。拔高(1)求五张白纸粘合的长度(2)设x张白纸粘合的总长度为ycm,写出y与x之间的关系式(3)求出当x=20时，y的值．【答案】见解析【解析】解：（1）由题意，得30×5-3×（5-1）=138．所以5张白纸粘合后的长度为138cm．（2）y=30x-3（x-1）=27x+3．所以y与x的关系式为y=27x+3．（3）当x=20时，y=27×20+3=543．所以当x=20时，y的值为543cm．4.小明用的练习本可以到甲商店购买，也可以到乙商店购买。已知俩商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始标价的70%卖；乙商店的优惠条件是从第1本开始就按标价的85%卖。（1）小明要买20本时，到哪个商店购买比较省钱？（2）写出甲、乙商店中，付款y（元）与购买本数x（本）（x大于10）的关系式（3）小明现有24元钱，最多可以买多少本练习本？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵小明买20本练习本在甲商店所需要的钱为：10×1+（20-10）×1×70%=17