西安科技大学电路教案ch6教案

1第6章一阶电路分析教学目的：通过本章的学习，使学生掌握动态电路方程的确定及初始条件的确定，掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解，掌握一阶电路求解的三要素法，阶跃响应和冲激响应的概念及求解。要求：1.动态电路方程的建立及初始条件的确定。2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；3.一阶电路求解的三要素法；4.一阶电路的阶跃响应概念及求解；5.一阶电路的冲激响应概念及求解。重点：1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念及求解；3.一阶电路求解的三要素法；4.一阶电路的阶跃响应概念及求解。5.一阶电路的冲激响应概念及求解。难点：冲激响应，阶跃响应的求解内容：1动态电路与换路定则2一阶电路的零输入响应3一阶电路的零状态响应4一阶电路的全响应与三要素法5一阶电路的阶跃响应6一阶电路的冲激响应7阶跃响应与冲激响应的关系2本次课主要介绍动态电路的方程及初始条件的确定课题：6-1动态电路与换路定则目的要求：熟练掌握换路定则和动态电路初始条件的确定。复习旧课：电容和电感元件的特性讲授新课：6-1动态电路与换路定则动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。动态电路的特点：当动态电路状态发生改变时（如接通、断开电源或信号源，某些子电路的接入或断开等）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。稳态电路的响应不发生变化（值不变或变化规律不变）。换路由于各种原因引起电路结构或参数发生变化的现象称为换路换路的原因：电路结构的改变（对电路进行某些控制操作（如接通、断开电源或信号源；某些子电路的接入或断开等；故障也会改变电路的结构；给电路加入了额外的激励干扰；电路元件参数的变化（外部环境如温度等的变化）为了分析方便，一般规定换路是在t=0时刻发生的，同时认为换路是不需要时间的，即换路是在瞬间完成的。为了更进一步描述换路前后的状态，换路前的瞬间用0t表示，换路后的瞬间用0t表示。例：电阻电路SUiRSUiR+-CuC)0(St)0(St(a)(b)图6-1稳态响应和过渡过程3一、动态电路和状态变量由上面分析看出，当图6-1（a）电路进行换路后，电路在瞬间完成从一种稳态到达另一种新稳态的转换，所以电路中没有过渡过程。将换路后不发生过渡过程的电路称为静态电路。图（a）不发生过渡过程的原因是电路中除电源元件外只含有电阻元件。因为电阻元件上的VCR是比例关系，电阻电路换路后不会产生过渡过程，所以称电阻为静态元件，电阻电路称为静态电路。静态电路换路后不发生过渡过程。因为描述电阻电路的方程是线性代数方程，所以由线性代数方程描述的电路为静态电路。图6-1（b）的电路则不同，因为图（b）电路中有动态元件电容，换路后有过渡过程。含有动态元件的电路称为动态电路，动态电路换路后会产生过渡过程，或者说，发生过渡过程的原因是电路中含有动态元件。由于动态元件的VCR是微分或积分关系，所以由动态元件组成的电路换路后不可能瞬间进入稳态。就是说，含有动态元件的电路由一种稳态进入另一种稳态是需要时间（过渡）的。电容和电感都是动态元件，由它们组成的电路（动态电路）会发生过渡过程。二、动态电路的换路定则1.动态电路的换路定则根据式（5-5）知，线性电容在任何时刻的VCR为ttCCCdiCtutu0)(1)()(0如果设0t为换路时刻，令00t，0t，代入上式，得00)(1)0()0(diCuuCCC(6-1)由换路的概念知，换路是在瞬间完成的，所以0到0不需要时间。如果电流)0()(CCii为有限值，则（6-1）式右边的积分项为零，则)0()0(CCuu(6-2)可见，电容电压在换路前后是相等的，即电容电压不发生跃变（连续变化），所以电容元件储存的电场能不发生跃变。再由电容的定义CuCq，得)0()0(qq(6-3)因此，电容上的电荷同样不发生跃变，即电容上的电荷也是连续变化的。式（6-2）和（6-3）就是电容元件的换路定则。在换路瞬间如果0)0()0(CCuu，则电容相当于短路。对于线性电感而言，根据式（5-22）知，电感的VCR为ttLLLduLtiti0)(1)()(0令00t，0t，得00)(1)0()0(duLiiLLL(6-4)4同样从0到0瞬间，如果)0()(LLuu为有限值，则（6-4）式右边的积分为零，则)0()0(LLii(6-5)可见，电感电流在换路瞬间也是连续的，即不发生跃变，因此电感元件储存的电磁能不发生跃变。再根据线性电感的定义LiLΨ，得)0()0(ΨΨ(6-6)所以，电感中的磁链是连续变化的，也不发生跃变。式（6-5）和（6-6）就是电感元件的换路定则。在换路瞬间如果0)0()0(LLii，则电感相当于开路。2.动态电路初始条件的确定求初始值的步骤:1.由换路前旧稳态电路求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等效电路。a.换路后的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。4.由t＝0+时刻的电路求所需各变量的0+值。研究动态电路的目的是求换路后的响应，即求0t时微分方程的解。因为微分方程的变量通常是Cu和Li，当求出它们以后，其它变量（非状态变量）可以根据KCL和（或）KVL求出。在求解Cu和Li时，首先要知道)0(Cu和)0(Li，如果知道)0(Cu和)0(Li，由换路定则可以求出它们。其它非状态变量的初始条件可以通过状态变量的初始条件求出。例6-1图6-2（a）所示电路，已知SU为直流电源，设0t时电路已达到稳态，试求初始条件)0(Cu、)0(Li、)0(Ci、)0(Lu、)0(1Ru和)0(2Ru。+-SULu+-LiCi1R2R++--1Ru2Ru+-Cu..L1R2R)0(Cu+-)0(Ci+-)0(LuSU+-)0(Li1R2R--+++-+-)0(Ci)0(Li)0(Lu)0(Cu)0(2Ru)0(1Ru..)0(StC(a)(b)(c)图6-2例6-1图解首先计算)0(Cu和)0(Li，再由此求出)0(Cu和)0(Li，进而求出非状态变量初始条件。因为在0t时电路已达稳态，且SU为直流，可知电容电压和电感电流均为直流，根据dtduiCC/和dtiduLL/得0)0(Ci和0)0(Lu，所以在0t时刻电容相当于开路、电感相当于短路，则0时刻的等效电路如图（b）所示，由图（b）可得SCUu)0(，2/)0(RUiSL5根据换路定则有SCCUuu)0()0(和2/)0()0(RUiiSLL，即在0t时刻电容相当于电压源，电感相当于电流源，则0时刻的等效电路如图（c）所示。根据图（c）得2/)0()0(RUiiSLC211/)0()0(1RURiRuSLRSLRUiRu)0()0(2221/)0()0()0()0()0(121RURuuuuuSRRRCL由该例看出，虽然电容电压和电感电流不能发生跃变，但电容电流和电感电压在换路时发生了跃变。可见，电容电流和电感电压是可以发生跃变的。作业：6本次课主要介绍一阶电路的零输入响应课题：6-2一阶电路的零输入响应目的要求：熟练掌握一阶电路零输入响应的特点和时间常数的定义复习旧课：动态电路的初始条件讲授新课：6-2一阶电路的零输入响应所谓零输入响应就是动态电路在没有外加激励时的响应。电路的响应仅仅是由动态元件的初始储能引起的，也就是说，是由非零初始状态引起的。如果初始状态为零，电路也没有外加输入，则电路的响应为零。首先研究RC电路的零输入响应。图6-3（a）所示为RC电路，换路前电容已充电，并设0)0(UuC，开关S在0t时闭合，则电路在0时刻换路。换路后，即0t时的电路如图（b）所示。i0)0(UuC+-RCu+-+-CCRuR)0(St(a)(b)图6-3零输入RC电路由图（b），根据KVL，得0CRuu选状态变量Cu为方程变量，再由iRuR和dtduCiC，代入上式得0CCudtduRC，0t(6-7)因为R、C为常数，所以该式是一阶线性齐次常微分方程。可见含一个储能元件的电路可以用一阶微分方程描述，所以RC电路是一阶电路。由微分方程解的形式知，线性齐次常微方程的通解为ptCAeu，代入（6-7）式可得对应的特征方程为01pRC即特征根为RCp/1通解为RCtCeAu7根据换路定则和初始条件有0)0()0(UuuCC，代入上式得积分常数)0(CuA0U，于是式（6-7）的通解为RCtRCtCCeUeuu0)0((6-8)电路中的电流为RCtCeRUdtduCi0(6-9)由式（6-8）和（6-9）可以看出，电容上的电压Cu和电路中的电流i都是按同样的指数规律衰减的，其变化曲线如图6-4所示。ott0UCuiRU0)(0tuC)(0tuC0t)(368.00tuC0to(a)(b)图6-4RC电路的零输入响应Cu和i衰减的快慢取决于电路特征方程的特征根RCp/1，即取决于电路参数R和C的乘积。当R的单位取Ω时，C的单位取F时，有欧·法=欧·库/伏=欧·安·秒/伏=秒，所以RC的量纲为时间，并令RC，称为时间常数。引入以后，Cu和i可以表示为ttCCeUeuu0)0((6-10)teRUi0(6-11)时间常数是一个重要的量，一阶电路过渡过程的进程取决于它的大小。以电容电压为例，在任一时刻0t，)(0tuuCC，当经过一个时间常数后有)(368.0)(0/01/)(0000tueUeeUtuCttC可见，从任一时刻0t开始经过一个后，电压衰减到原来值的36.8%，见图6-4（a）。从理论上讲，当t时过渡过程结束，即电容电压和电流才能衰减到零。经过计算得，当3t时，0030498.0)3(UUeuC；4t、5时，03018.0)4(UuC，00067.0)5(UuC。所以，一般认为换路后经过5~3后过渡过程就告结束。可以证明，Cu在0t处的切线和时间轴的交点为0t，见图6-4（a）。这一结果说明，从任一时刻0t开始，如果衰减沿切线进行，则经过时间它将衰减到零。在整个过渡过程中，由于电容电压按指数规律一直衰减到零，所以电容通过电阻进行放电，电容中的初始储能——电场能（2/20CU）全部由电阻消耗并转换成热能，即8200220200022121)()(CUeUCtdReRUtdRtiWRCtRCtR例6-2图6-5（a）所示电路已达稳态，已知V10SU，61R，42R，F5.0C，在0t时打开开关S，试求0t时的电流i。+-1R2RCu+-iSUCi+-Cu2RC..)0(St(a)(b)图6-5例6-2图解由式（6-8）知，只要知道RC电路的初值)0(Cu和时间常数就可以求出电容两端的电压，进而求出电流。首先求)0(Cu。已知换路前电路已达稳态，则V446104)0(212SCURRRu换路后0t时的电路如图（b）所示，根据换路定则有V4)0()0(CCuu再求时间常数，s25.042CR，代入（6-10）式，得V4)0()(5.0ttCCeeutu则电流i为A)5.0(45.0)(5.05.0ttCeedtduCti或者用2/RuiC同样可以得出此结果。接下来研究RL电路的零输入响应。如图6-6（a）所示电路，在0t时刻将开关S由位置1合到位置2，换路后的电路如（b）所示。由图（a）知SLIi)0(，图（b）是RL零输入电路，根据KVL，有0LRuu选状