高三一轮复习《三角》

第四部分：三角函数、恒等变换、正余弦定理公式和使用三角函数这部分是高中公式最多的，就考察的难度来说，一般只考简单题和中等题。一方面要熟记所有公式，包括一些公式变形的形式，然后合理使用公式解题；另一方面要注意使用公式时过程的完整性。就三角的公式来说，包括：诱导公式，同角三角函数公式，和、差、倍公式（降次升角公式），合一公式（辅助角公式），正余弦定理，面积公式，最好么记得原始公式和解题时喜欢考察到的形式。还有一个重要的内容就是三角函数图像，尤其在解答题考察较多的BxAysin的图像与性质。在公式的积累达到要求时，还要积累一些题型的解题方法，比如：“给值求值的常规思路”“求单调区间需要注意的地方”“如何合理选择正余弦定理解题”等等。在日常考试中，一般也不会考难的解答题，高考解答题一定会考三角，不过只会出现在前两题中。一、就公式来说，需要牢记以下内容：1、三角函数定义高中对于三角函数的定义是：设角终边上一点P的坐标是yx,，设22||yxOPr，则rysinxyrxtancos。在实际的考察中一般要掌握角和角终边上点坐标之间的相互转化就可以了，始终抓住“角的象限”就是“终边上点所在的象限”。另外就是三角函数在各个象限的符号，这个可以根据定义去记忆。典型例题：例、已知角的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33()π2,0∈α，求α。例、如图,在平面直角坐标系xOy中,点,,ABC均在单位圆上,已知点A在第一象限的横坐标是3,5点B在第二象限,点1,0.C（1）设,COA求sin2的值；（2）若AOB为正三角形,求点B的坐标。2、诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，有的也说“横变纵不变，符号看象限”。主要用于求解三角函数值，需要的情况下改变函数名。常用的有：sin(2)_____,cos(2)_____,tan(2)_____kkksin()_____，cos()_____，tan=_____sin()_____,cos()_____,tan()_____sin()_____,cos()_____,tan()_____222sin()_____,cos()_____,tan()_____222333sin_____,cos_____,tan_____222333sin_____,cos_____,tan_____222用诱导公式求(或化简、比较)数值角的三角函数值的大小时，口诀是“负化正，大化小，化到锐角就行了”3、同角三角函数公式公式普通作用：已知角的一个三角函数值，求角的其他三角函数值，弦切之前的转化。①1cossin22xx②xxxcossintan其中①也可以用来三角换元：比如圆中解题的时候就可以令sincosrbyrax，椭圆中令sincosbyax②可以用来实现消元，如：已知2tan，求sincos2sincos①，223sincos2sincos②，③22cos2sin；另外，还要记住这个公式：2(sincos)12sincos22(sincos)(sincos)2，在一些题目中可以用到，一般会利用上述关系式进行换元“4sin2cossinxxxt”4、三角函数图像解析式sinyxcosyxtanyx图象定义域(,)(,){|,}2xxkkZ值域[1,1][1,1]R最值max1y（22xk）Zkmax1y（2xk）Zk无最大值和最小值min1y（22xk）Zkmin1y（2xk）Zk有界性有界有界无界奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性2T2TT单调性[2,2]22kkZk[2,2]kkZk(,)22kkZk3[2,2]22kkZk[2,2]kkZk对称性对称中心为(,0)kZk对称中心为(,0)2kZk对称中心为(,0)2kZk对称轴为2xk，Zk对称轴为xk，Zk无对称轴sin()yAx的图象()kZ项目三角函数sin()yAx（0A，0）图象作法列表描点法：“叁零两最”五点法待定坐标法图象变换法x02322先从上升段零点开始作一个周期的图象，后写出“叁零两最”五个关键点的坐标。最后作出y轴并标上A和A。变换前要逆用诱导公式进行三统一：统一函数名称；统一函数前面的符号；统一x前面的符号。变换口诀为“图进标退，图伸标缩”。x1x2x3x4x5xy010-10函数性质振幅周期频率对称轴对称中心A2T12fTkxx且2kxk(,0)kx且kxk图象变换（口诀：图进标退，图伸标缩）变换后变换前sin()yxsinyxBsinyAxsin()yx左右平移上下平移振幅变换周期变换sinyx0时，向左平移个单位0B时，向上移B个单位1A时，横坐标不变，纵坐标伸长为原A倍1时，横不变，纵缩短为1/倍0时，向右平移||个单位0B时，向下移||B个单位01A时，横坐标不变，纵坐标缩短为原A倍01时，横不变，纵伸长为1/倍5、和、差、倍公式、合一公式两角和、差的正余弦公式cos()coscossinsin．（()C）cos()coscossinsin（C）sin()sincoscossin（()S）sin()sincoscossin（()S）辅助角公式（合一公式）sincosaxbx22(cossinsincos)abxx22sin()abx．一般多见是有关特殊角的辅助角公式：6sin2cossin33sin2cos3sin4sin2cossinxxxxxxxxx两角和、差的正切tan()tantan1tantan（()T）tan()tantan1tantan（()T）说明：①()T公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②()T公式的变形：tantantan()(1tantan)tantantan()(1tantan)二倍角公式sin22sincos,22cos2cossin2cos22cos12cos212sin22tantan21tan降幂公式：21cos2sin,221cos2os,2c21cos2tan1cos26、正余弦定理正弦定理：1）公式：RCcBbAa2sinsinsin（R为三角形ABC外接圆半径）；公式特点：边和角都比较多；2）公式变形：;sin2;sin2;sin2CRcBRbARa作用：将条件中的边长cba,,代换成对应角的正弦值；;2sin;2sin;2sinRcCRbBRaA作用：将条件中的角代换成对应的边长cba,,；RCBAcbaBAbaCcBbAa2sinsinsinsinsinsinsinsin注：一般的参数“2R”在上述代换中可以消去，如果题目中给出2R的值一般也使用上述变形的式子。3）公式的作用：①求边长：需要两角和一角的对边；②求角的正弦值（度数）：需要两边和一边的对角和角的范围（求角度时可能有多个值）；注：大角对大边，大边对大角：CBAcbaCBAsinsinsin主要用来确定多解题中的解是否要舍去。③边角互换：等式两边同时替换、分式的分子和分母同时替换；互换时请注意只能同次互换：余弦定理：1）公式：Abccbacos2222；Baccabcos2222；Cacaaccos22222）公式变形：bcacbA2cos222；acbcaB2cos222；abcbaC2cos222注：一般来说“分式”形式的余弦定理的公式用的比较多。公式特点：边多角少（一角和三边）。3）公式作用：①求边长：需要一角和任意两边；②求角的余弦值（度数）：需要三边的长度和角的范围；③边角互换；（一般不用）例如：cacbcaaCBA2sincossin222；④求角的正弦：需要三边的长度；面积公式：BacAbcCabhaSsin21sin21sin2121（这是将条件中的面积转化为边长和角的正弦的！！！）二、基本题型1、诱导公式的考察主要就是求解一些角度值，或者化简公式，就后期的学习来说，难度不大的。1）函数21cos2cosxxxf的最小正周期为．2）sin2(3－x)+sin2(6+x)=.3）若1cos()2A，则sin()2A的值是.4）若cos()(||1)6mm≤，则2sin()3是.2、同角三角函数的主要作用：1）它可以根据角的一个三角函数值求解角的其他三角函数值；2）化简中弦切互换；3）利用1cossin22进行三角换元。如：若4sin,tan05，则cos.注意：“范围”是确定三角函数值正负的必须条件，解答题中也是需要在过程中体现的。3、三角函数图像需要牢牢记住，一方面要记得xyxyxytancossin这三个函数的基本图像，尤其比较少见的。另一方面BxAysin的典型例题例1.图像平移1）把)432sin(xy的图像沿x轴向右平移4个单位后，再将每点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则得的图像对应的函数表达式是；2）将函数4sinxxf的图像向右平移4个单位，再向上平移1个单位后得到函数xg的图像，若22143g，则145g的值为；例2.函数bxAy)sin(的值域主要方法：复合函数求值域方法---换元结合初等函数（一次函数、二次函数、三角函数）的单调性；1）函数2)62sin(2xy在4,0的值域为；2）函数)23cos(2xy在3,12上的值域为；3）函数0)4cos(2ax在12,12上恒成立，则a的取值范围是；4）已知函数,2,0,362sin,2,2,22xaxaxgxxxf对任意的,2,21x存在2,00x,使得10xfxg成立，则a的取值范围为；例3.函数bxAy)sin(的单调性主要方法：复合函数单调性判定方法（一次函数结合三角函数），该方法在大题中也可以直接使用判断证明bxAy)sin(的单调性！（其他函数则必须用定义法证明单调性）1）函数1)4cos(xy的单调区间是；2）函数2,0),22sin(xxy的递减区间为；3）函数)23sin(3xy的单调递减区间为；4）函数)42sin(log2xy的单调递减区间为；5）函数xxfsin2（0）在4,3上递增，则的取值范围是；例4.函数bxAy)sin(的奇偶性和周期性注意本身函数bxAy)sin(就不一定是奇偶性函数，在三角函数中，奇偶性函数最终一定能化为xAysin+b，xA