数学建模

2010年3月运筹与优化模型刘巍目录第一篇数学建模与建模方法论第二篇分析优化模型第三篇运筹学优化模型第四篇智能仿生优化模型参考书目•1、数学建模入门徐全智杨晋浩著•电子科技大学出版社•2、运筹学清华大学出版社•3、管理运筹学韩伯棠编著•高等教育出版社•4、智能优化算法及其应用王凌著•清华大学出版社第一篇数学建模与建模方法论第一章数学建模经典范例第二章数学建模思想与方法第一章数学建模经典范例数学模型是关于部分现实世界并为某种特殊目的而作为一个抽象的、简化的数学结构。数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等，用它来描述客观事物的特征及其内在联系一、章节第1节稳定椅子数学模型椅子放在地面上，由于地面不平，椅子往往不容易一次就放得很稳，我们常常适当调整椅子的位置使它能够放稳（椅子脚全部接触地面）问题：四条腿长度相同的椅子放在不平的地面上，四条腿是否一定能全部着地稳定椅子数学模型•答案：•如果满足下面两个条件，则椅子的四条腿一定能同时着地•条件一，椅子的四条腿长度相同且四脚连线是正方型•条件二，地面是数学上的连续曲面，即沿任何方向，地面高度不会出现间断稳定椅子数学模型AXYBCDα稳定椅子数学模型•当椅子绕O点旋转时，对角线AC与X轴的夹角在变化，我们记为θ，它表示了椅子的位置状态。当θ变化时，显然四条腿离地的距离也在发生变化。我们将A，C两腿与地面的距离之和记为，而B，D两腿与地面的距离之和记为,它们是关于变量θ的函数。若假设地面是连续曲面，则和为连续函数()f()g()g()f稳定椅子数学模型•已知条件:为变量θ的连续函数，，,且对任意•求证:存在，•使fg()()和fg()()和fg()()和()()fg和02，(0)0,(0)0gf02()()0fg，，有0/2，()()0fg稳定椅子数学模型•建立这个数学模型四个要点：•1.用变量θ来表示椅子的位置，这是一个抓住主要特征所做的抽象化•2.用θ的函数分别表示两个对角腿离地距离之和，这是抓住问题关键所在进行的问题简化。椅子四只腿连线呈正方形且长度相同的假定使我们可以只设这两个函数。•3.三点可定一平面的常识使我们可以有知识：对任何θ，有。•4.地面为连续曲面的假设是合乎常理的。这个简化起到一个很关键的作用，使我们可以利用连续函数的介值定理，使问题解决的很巧妙()()fg和()()0gf第2节森林救火数学模型•问题提出：消防站接到森林失火的报警后，要派多少消防队员前去救火呢？派去的少，救火时间较长，森林损失会较大。但派去的越多，救援开支费用又越大。需要综合考虑二者的费用（森林损失可以折合成费用）情况，以总费用最少的方案决定派出消防队员的数目森林救火数学模型•设烧毁单位面积森林的损失费为c1•派出每个消防队员单位时间的费用（供应、薪金等）为c2•每个队员的一次性开支（运输等)为c3•队员人数为X•记失火时刻为t=0，森林损失面积为B（t），开始救火时刻为t1，火被扑灭时刻为t2森林救火数学模型•做如下的简化假设：•⒈火势从某个中心开始，以均匀速度按环形状地向外蔓延，所以可认为在0≤t≤t1,•蔓延半径r（t）与t成正比，从而，损失面积B(t)与t2成正比，由此导出dB/dt与时间t成正比，可以设dB/dt=βt（0≤t≤t1)•β不妨称为火势蔓延速度森林救火数学模型•⒉每个消防队员的救火速度是常数λ，于是在t1≤t≤t2,当有X名消防员救火时，火势蔓延速度为β－λX（应有β－λX＜0），这样就应有•dB/dt=βt－λX·（t－t1）（t1≤t≤t2)dB/dttt1t2b•记b=βt，由dB/dt的表达式及•可以求出•记B（t2)是以b为高，以t2为底的三角形的面积，则02ttdtdBxbtt12)(22)(212xbbttB•模型归结为求x使•为计算简便，•记y=x-β/λ))(22min()(min322111xcxbxcxbcbtcxc0322211)2(min)(mincycybcbcyc•令dC/dy=0求出C(y)的极值点为•从而，C(x)的极值点•X*就是使总费用最低的最佳派出消防员数量3221221*cbcbcy**yx森林救火数学模型•对于这个数学模型，我们还可以做以下讨论：•1.由图1.1.2和(1.1.3)式可知，为了扑灭火势，必须要求β－λX＜0，即X，也即Xβ。这意味着，β是为扑灭火势所必须派出的最少队员数量。•2.在利用式(1.1.8)和式(1.1.9)计算最优派出队员数时，式中的c1、c2、c3是已知常数，而和可由森林类型、风向、消防队员的素质等因素作出估计。•3.每个消防员的救火速度是常数，这个假设多少有点过于简单化了，进一步可以考虑它是时间的函数，也可导出相应的结果第3节价格竞争模型•两个加油站坐落在同一条公路旁，彼此激烈竞争，附近的加油站也对它们构成一定的压力。市场是很大，尽管两个加油站都有自己的老顾客，但销售量的大部分还是由偶然到来的顾客所决定。利润受销售量的影响和控制。一天，甲加油站突然张贴出“降价销售”的广告来吸引更多的顾客，以形成更大市场，获取更大的利润。结果造成乙加油站的顾客被拉走了许多，盈利急剧减少。他们为了挽回损失采取对策，决定马上降价，但需要制定一个合适的价格，既可以同甲加油站竞争，又可以获得尽可能高的利润引入一些变量指标：•x──乙加油站的销售价格（元/升）；•y──甲加油站的销售价格（元/升）；•w──汽油的成本价格（元/升）；•L──乙加油站在价格战之前的销售量（升/日）；•p──汽油的正常销售价格（元/升）。•其中，p由其他加油站的一般销售价格决定，不妨定为常数。假设•乙加油站的销售量受以下各因素的影响：•两加油站之间的销售价格之差；•乙加油站的销售价格与正常价格之间的差价•甲加油站的销售价格与正常价格之间的差价•L=20000,p=40,W=30,•y=37,38,39•a=4×1000,•b=c=1000y值最优点x值E（元）3936.52112.5383618003735.51512.5价格竞争模型•思考问题：•1.分析已得利润函数E(x,y)是否有不适当之处？用以下数据代入利润函数，分析所得结果是否合乎常识？•2.试算表中的结果关于比例常数的灵敏度如何？为什么去数量级O(1000)？请用其它数量级试一试并作分析第4节疏散模型•考虑一所学校的一座教学楼，其中一楼有一排相同的教室（示意图见图1.2.3）假定学生们沿着教室外的过道走向过道尽头处的出口。我们简单地考虑将四间教室的学生们全部撤离至出口外所花时间•n1+1──教室1中人数•（n1个学生加一名老师）；•d──人与人之间的距离（米）；•v──人员撤离时速度为常数（米/秒）AL1L2L3L4•这样，撤离的全体人员形成一条长为n1d米的人链若链首的人是从教室门口出发，则全部人员离开教室的时间需要n1d/v。实际上链首的第一个人达到教室门口有一个延迟时间，记为t0秒，所以整个教室撤空的时间为n1d/v+t0。这时人链的最后一人恰好到假使门口（即图1.2.3中的A处），这里到出口还有L1长的距离，所以整个撤离时间还应加上L1/v,Lvndvt110两间教室的情况•第二个房间的师生构成的人链长为n2d米，人链的第一个人到达教室门口的延迟时间也是t0，教室门口（图1.2.3中B处）到出口的走廊长为L1+L2，第二个教室全体人员撤离时所花时间为LLvndvt1220•为简单起见，我们先不考虑两条“人链”在走廊上的冲突问题，假定走廊只允许一列队伍通过，规定在第一个教室的师生在撤离过程中，第二个教室的师生需要等待时要等在一旁。•注意到第一条“人链”链尾到达A处所需时间为t0+n1d/v，而第二条“人链”链首到达A处所需时间为t0+L2/v•当即tndvtLv0102nLd12第二个教室的师生必须等待，从而全体人员撤离出口所花时间为tndvLvndvtnndvLv01120121()•当n1+L2/d（第一个教室人数少）时，第二个教室的师生无需等待。特别当n1=L2/d时，两条队伍撤离既无需等待，也没有间歇时间。全体师生撤离时间LLvndvt1220•取数据L1=10米，L2=12米，v=2米/秒，t0=3秒，d=1米，代入n1=L2/d，得n1=12，即当第一间教室的人数不超过13人时，第二个教室的师生不需等待。再设第二间教室有31人，即n2=30，则全体师生撤离时间为：LLvndvt12203301210121229()=疏散模型•思考问题：•1.类似可以推出三个和所有四个房间的情况。•2.进一步的分析可以思考过道比较宽，允许两列队伍可以同时进出的情况。第5节拐角问题模型在医院的外科手术室，往往需要将病人安置在活动病床上，沿走廊推到手术室或送回病房，这样有时就要使病床通过走廊的直角拐角，参见图，我们想知道标准的病床能否安适地推过拐角，求出病床可以顺利通过的走廊的最小宽度•首先，我们将问题简化。想象床缩为一根杆子，问题转化为要想让杆子绕过拐角，杆子的长度要受到多大的限制。如图1.2.6所示，过道的宽度分别是a和b。PQ线段的长度即固定角时能安放的最大杆长。记为L()•L()=PN＋NQ=SNcsc+RNsec•=asec+bcscdLdatgbctgseccscdLd0tgba3得Labm()///232332从而•现在，我们再回到病床问题。如图1.2.7所示，床的面积大小为S=p．q，而且根据图1.2.7的三角关系可以得到：•AB=AN+NBpaqbq(sin)sec(cos)csc即Sqaqbq[(sin)sec(cos)csc]•原问题是给出病床尺寸S=p．q，求过道宽度a、b的最小值。但这里对数学模型的求解，将a、b看成常数，而将p、q作为变量更为方便。•为求S的最小值，根据多元函数极值的求法，求偏导数：Sqaqbqq(sin)sec(cos)csc(sinseccoscsc)Saqtgqbqctgqq[(sin)secseccos(cos)cscsincsc]•令SqS00abqbaqsincoscossincos2233从而有tgbaqababpab2222最终得•现在对模型进行验证，设标准床长2米，宽1米，即p=2、q=1，代入式（1.2.17）可以求出a=b=米。而若设拐弯后的过道宽1米，拐弯前的过道1.5米，即a=1,b=1.5，由式(1.2.17)能得到通过拐角的病床最大尺寸是：p=1.8米，q=0.8米，这个尺寸对于个子较高的人来说可能太短了问题简化：•想象床缩为一根杆子，问题转化为要想让杆子绕过拐角，杆子的长度要受到多大的限制。过道的宽度分别是a和b。PQ线段的长度即固定角时能安放的最大杆长拐角问题模型•思考问题：•重新考虑杆子通过拐角的问题，假如杆子可以有向上的倾角，走廊的高度对能通过直角拐角的最大长度有什么影响？例6除雪机除雪模型•有一条10公里长的公路由一台除雪机负责清扫积雪。每当路面积雪平均厚度达0.5米时，除雪机就开始工作。但问题是开始除雪后，如果大雪仍然下个不停，可能使路上积雪越来越深，除雪机的工作速度逐渐降低，直到无法工作。降雪的大小直接影响到除雪机的工作，那么什么情况下除雪机能够完成这10公里路段的除雪任务？当雪下多大时除雪机无法工作？基本数据•可以了解到下述情况和部分数据：•降雪持续了一个小时。•降雪速度随时间变化，但下得最大时，积雪深度的增加量是每秒0.1厘米。•当雪的厚度达到1.5米时除雪机将无法工作•除雪机在