函数单调性与导数极值问题

第1页/共5页让优秀成为一种习惯§3.3.2函数的极值与导数复习1：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么函数y=f(x)在这个区间内为函数；如果在这个区间内0y，那么函数y=f(x)在为这个区间内的函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()fx.②令解不等式，得x的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围，就是递减区间.二、新课导学※学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()yfx在,,,,,,,abcdefgh等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()yfx在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()yfx的导数的符号有什么规律？看出，函数()yfx在点xa的函数值()fa比它在点xa附近其它点的函数值都，()fa；且在点xa附近的左侧()fx0，右侧()fx0.类似地，函数()yfx在点xb的函数值()fb比它在点xb附近其它点的函数值都，()fb；而且在点xb附近的左侧()fx0，右侧()fx0.新知：我们把点a叫做函数()yfx的极小值点，()fa叫做函数()yfx的极小值；点b叫做函数()yfx的极大值点，()fb叫做函数()yfx的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的，刻画的是函数的.试试：（1）函数的极值（填是，不是）唯一的.(2)一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的(内，外)部，区间的端点（能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()fxx在x=0处的导数为，但它（是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的条件.※典型例题例1求函数31443yxx的极值.变式1：已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求(1)0x的值(2)a，b，c的值.小结：求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)求方程f′(x)=0的根奎屯王新敞新疆（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程xo12y第2页/共5页让优秀成为一种习惯根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911fxxxx.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；练1.求下列函数的极值：（1）2()62fxxx；（2）3()27fxxx；（3）3()612fxxx；（4）3()3fxxx.练2.下图是导函数()yfx的图象，试找出函数()yfx的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.函数232yxx的极值情况是（）A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也极小值2.三次函数当1x时，有极大值4；当3x时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A．3269yxxxB．3269yxxxC．3269yxxxD．3269yxxx3.函数322()fxxaxbxa在1x时有极值10，则a、b的值为（）A．3,3ab或4,11abB．4,1ab或4,11abC．1,5abD．以上都不正确4.函数32()39fxxaxx在3x时有极值10，则a的值为5.函数32()3(0)fxxaxaa的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为课后作业1.如图是导函数()yfx的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()yfx有极大值？（2）导函数()yfx有极小值？（3）函数()yfx有极大值？（4）导函数()yfx有极小值？2.求下列函数的极值：2()62fxxx；（2）3()48fxxx.§3.3.3函数的最大（小）值与导数新青蓝学习目标第3页/共5页让优秀成为一种习惯⒈理解函数的最大值和最小值的概念；⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.复习1：若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的点，)(0xf是极值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的点，)(0xf是极值奎屯王新敞新疆复习2：已知函数32()(0)fxaxbxcxa在1x时取得极值，且(1)1f，（1）试求常数a、b、c的值；（2）试判断1x时函数有极大值还是极小值，并说明理由.探究任务一：函数的最大（小）值问题：观察在闭区间ba,上的函数)(xf的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间ba,上的最大值是，最小值是；在图2中，在闭区间ba,上的极大值是，极小值是；最大值是，最小值是.新知：一般地，在闭区间ba,上连续的函数)(xf在ba,上必有最大值与最小值.试试：上图的极大值点，为极小值点为；最大值为，最小值为.反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.※典型例题例1求函数31()443fxxx在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤（1）求()fx的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.图1图2第4页/共5页让优秀成为一种习惯例2已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf在(0,1)上是减函数，在[1,)上是增函数；（2）)(xf的最小值是1；若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.变式：设213a，函数323()2fxxaxb在区间[1,1]上的最大值为1，最小值为62，求函数的解析式.小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．练1.求函数3()3,[1,2]fxxxx的最值．练2.已知函数32()26fxxxa在[2,2]上有最小值37.（1）求实数a的值；（2）求()fx在[2,2]上的最大值．三、总结提升※学习小结设函数)(xf在ba,上连续，在(,)ab内可导，则求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在ba,上的最值.第5页/共5页让优秀成为一种习惯※知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0fx得到方程的根1x，2x，，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，也可以求最值.1.若函数3()3fxxxa在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则MN的值为（）A．2B．4C．18D．202.函数32()3(1)fxxxx（）A．有最大值但无最小值B．有最大值也有最小值C．无最大值也无最小值D．无最大值但有最小值3.已知函数223yxx在区间[,2]a上的最大值为154，则a等于（）A．32B．12C．12D．12或324.函数2yxx在[0,4]上的最大值为5.已知32()26fxxxm（m为常数）在[2,2]上有最大值，那么此函数在[2,2]上的最小值是新青蓝课后作业1.a为常数，求函数3()3(01)fxxaxx的最大值.2.已知函数32()39fxxxxa，（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx在区间[2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.