养老保险问题的数学模型

养老保险的模型设计柏强魏永涛摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对养老保险的实际情况，提出了对投保人有利的计算方法，以下对题目所给定的方案作出简要分析：方案I：40足岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死时一次支付家属一定金额；方案II：40足岁开始投保，投10年，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。将两方案进行比较，投保方法相同，只是领取养老金的方法不同。这样,便简化了数学模型的建立。问题一：指出对投保人更有利的方案。针对该问题需寻找一个确定有利方案的指标，由此我们引入了投保有利率(其定义为：领取的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差再与投保总金额（包括利息）的比值)；这样来把未来的资金转换为现值，来体现投保人与保险公司何者获利及何种方案对投保人更有利。在此需说明：a．表示投保人获利；b．表示投保人和保险公司等价交换；c．表示保险公司获利。此外，的值越大说明对投保人越有利。我们计算出方案I的值为0.039322，方案II的值为0.019176；根据我们的对的定义可知：方案I对投保人更有利。问题二：建立一般数学模型。此问题相当灵活，在此，我们将问题涉及到的所有参量均作一般化处理，从而建立对保险问题通用的数学模型。具体实现如下：a.统一两方案并将问题作一般化重述：投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡后，保险公司一次性支付a元。若预期寿命为k岁，银行年利率为。同时，对其中的参量作定性的约束。b.据以上重述及对问题的分析建立一般模型。此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的信息。本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了灵敏性分析；但其中不足之处亦有之：模型没有图形、表格之类的部分，不能使问题更清晰，直观地表现。一问题重述某人40岁时参加养老保险，有二家保险公司推出二种不同的方案，方案I：40岁起每年交费437元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1200元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元。方案II：40岁起每年交费750元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000远，以后每年增加50远，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元。若预期寿命为75岁、银行年利率为5.8%,问：1、那一种方案对投保人有利；2、试建立一般数学模型。二基本假设根据题目的规定和实际情况，做出如下合理的假设，使问题简化易于解决。1、假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每年的年初与年末。2、假设预期寿命时间即为领取养老金的最后年份。3、银行的年利率不随时间的变化而变化。4、对投保人更有利理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总数（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率更大。三符号说明1：投保利息；：投保收入利息；：投保收入(领取的总金额+利息)；：领取总金额；：投保费(投保总金额+利息)；1：投保总金额；a：投保人死后，保险公司一次支付其家属金额。四问题分析本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述问题，解决本问题需要经历以下几个过程：1．问题及其抽象根据我们所假设的条件可知：对投保人的有利程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率。定义如下：投保有利率=领取总金额(包括利息)投保总金额（包括利息）投保总金额(包括利息)即：…………………………(1)上式的投保率也就是我们所求问题的解，即：如果投保有利率越大，那么对投保人越有利。据假设及其定义，有如下情况：1、表示投保人获利；2、表示投保人和保险公司等价交换；3、表示保险公司获利。2．主要元素之间的关系投保人在投保的同时必须考虑到所投出的资金所产生的利息，此时所产生的利息（1）其实也是投保总金额（）的一部分。我们不妨设：投保收入（）=所领取的金额+利息即：=……………………………(2)同理，设：投保费=投保总金额+利息即:=+1…………………………(3)以上式（2）、（3）带入（1）式便可求解，越大说明在同环境下做投保越有利。五模型建立与求解问题一：针对此实际问题据以上分析可知：方案I：40岁起每年交费437元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1200元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元；据(3)式可知：投保费为：595975114040()437(15.8%)iiiii…………………………(4)其中：1i表示第i岁时投保金额；1i表示1i所对应的利息。又据(2)式可知：投保收入为：757575126060()1200(15.8%)jjjjjaa…………………(5)此时：a=10000；其中：1j表示第j岁领取的金额；2j表示1j所对应的利息。将(4)式和(5)式代入(1)式可得：755912116040591140755975756040597540757560597540()()()1200(15.8%)10000437(15.8%)437(15.8%)1200(15.8%)10000437(15.8%)1jjiijiiiijijiiijjiia…………………(6)此处可计算得：=0.039322方案II：40岁起每年交费750元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000远，以后每年增加50远，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元。据(3)式可知：投保费为：494975114040()750(15.8%)iiiii…………………(7)其中：1i表示第i岁时投保金额；1i表示1i所对应的利息。又据(2)式可知：投保收入为：757575126060()[100050(60)](15.8%)jjjjjaja……(8)此时：a=10000；其中：1j表示第j岁领取的金额；2j表示1j所对应的利息。将(4)式和(5)式代入(1)式可得：75491211604049114075497575604049754075756075()()()[100050(60)](15.8%)10000750(15.8%)750(15.8%)[100050(60)](15.8%)10000750(15.8%)jjiijiiiijijiiijjajj49401ii…(9)此处可得：=0.019176综上：比较两种方案的值可知，方案I对投保人有利。问题二：此时对一般模型的理解为(将题目中的方案I、方案II统一化)：投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡后，保险公司一次性支付a元。若预期寿命为k岁，银行年利率为。根据实际问题对以上变量作如下约束：knm；pk；m、c、n、p、d、e、a、k、均非负。据(3)式可知：投保费为：11()(1)nnkiiiimimc…………………(10)其中：1i表示第i岁时投保金额；1i表示1i所对应的利息。据(2)式可知：投保收入为：12()[()](1)kkkjjjjpjpadejpa…………………(11)其中：1j表示第j岁领取的金额；2j表示1j所对应的利息。将(10)式、(11)式代入(1)式可得：121111()()()[()](1)(1)(1)knjjiijpimniiimknkjkijpimnkiimadejpacc…………………(12)将(12)式化简为：[()](1)(1)1kkjjpnkiimdejpac…………………(13)对上式进行以下说明：就是我们所要求的投保有利率，据的定义可知：1、表示投保人获利；2、表示投保人和保险公司等价交换；3、表示保险公司获利。对于实际问题，带入相应的值计算并加以比较即可知道投保人是否获利。六模型的检验本模型从实际问题着手推导出该问题的一般模型并利用定义好的来对结果进行进行说明。根据我们以上的模型和分析可知：可为正数、负数也可以为零，其意义如上所述；对于问题一而言的方案I与方案II的值分别为0.039322和0.019176。显然据我们所定义的值的意义可知，此时方案I相对于方案II对投保人更有利；方案I为我们所建立一般模型的特殊形式（e=0），方案II为所建模型的一般形式，我们在进行模型检验的时候应用问题所给出的数据进行并对其优化，对于方案I我们特做如下检验：在分析过程中我们应该明确的知道，如果投报人的寿命没有达到保险公司所预期的寿命，那么我们所求的值应该比达到预期的寿命的值小。用C语言实现可得当某人寿命为74岁时的值为=0.008378，此时的值明显小于我们在预期寿命情况下的0.039322，说明他们都对投保人有利（值定义可知）；我们在取某人的寿命为74岁时候，此时的值为0.008378，又取寿命为73岁时对应的值为-0.024361；此时出现了为负值的情况，由我们的分析可知：出现负值也就意味着此时对保险公司有利。从方案I来说是符合实际情况的，所以针对方案I我们的模型成立。对于方案II，它是一个一般的求解模型，它的检验将更具有一般性，同样我们首先求出当某人寿命为74岁时的值为-0.022079，此时也和方案I一样出现了负值，也同样说明了此时保险公司处于有利位置。我们从以上的检验中对比一下便可以看出，方案II的值比方案I的值提前越过临界点（保险公司的收入（包括利息）相当于全部退还给投保人员：=0）；也就是说方案I对投保人的有利率大于方案II对投保人的有利率。这符合我们的实际情况也符合我们的模型的最终结论。故模型在一定的条件下是可用的。七模型的评价本模型在计算出题目所给定的方案中的最优投保之外给出了此类保险业务的一般模型；考虑到了投保资金的多少对投保获利的影响，引入了加以量化；但此模型基于的是我们的假设，比如：银行的利率不可能在多年是一定的，也未考虑人在40岁过后每年的死亡概率。这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响。参考文献:[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2004年2月[2]唐焕文，贺明峰.数学模型引论（第二版）.北京：高等教育出版社，2002年5月[3]徐稼红.从“养老金”问题谈起.苏州大学数学系：附录：C源程序1：#includestdio.hvoidmain(){inti,j,k;floatsum1=1.0,sum2=0.0,sum3=0.0,result=0.0;for(j=60;j=75;j++){sum1=1.0;for(k=1;k=75-j;k++)sum1=sum1*(1+0.058);sum1=1200*sum1;sum2=sum2+sum1;}sum2=sum2+10000.0;printf(sum2=%f\n,sum2);for(i=40;i=59;i++){sum1=1.0;for(k=1;k=75-i;k++)sum1=sum1*(1+0.058);sum1=437*sum1;sum3=sum3+sum1;}printf(sum3=%