圆锥曲线定比弦的存在定理

1圆锥曲线定比弦的存在定理摘要本文研究了圆锥曲线中过定点并以此点为定比分点的弦的存在问题，给出了圆锥曲线中定比弦存在的较为一般的判定定理。关键词圆锥曲线定点中点弦定比弦首先给出如下定义：定义设P点为定点，T为圆锥曲线，AB是它的弦，若AB所在直线过P点，且被P点所分成的有向线段代数长之比PBAP（定值），则AB便叫做T的定比弦。当1时，定比弦即是中点弦。本文研究定比弦的存在定理，对此，我们有定理一椭圆12222byax存在以P（,0x0y）（x02+y02≠0）为分点，为定比的定比弦的充要条件是：（1）当＞0时，（11）222ba≤b2x02+a2y02＜a2b2；（2）当=0时，b2x02+a2y02=a2b2（Ⅰ）（3）当＜0时（≠-1），22ba＜b2x02+a2y02≤（11）222ba证明：设A（x，y），则B（yyxx0011）（，）（），则有b2x2+a2y2=a2b2b2[（1+）x0-x]2+a2[（1+）y0-y]2=a2b22（*）两式相减，得b2（1+）2x02-2b2（1+）x0+a2（1+）2y02-2a2（1+）y0y-a2b2（2-1）=0（*）①当y0≠0时，y=20220220221yayaxb））（（·022202212yabaxb）（代入2220222bayaxb,并化简得到：0)1(4)()1()()1(2)]1())(1[(4)(424420242022022202202222222022020222022022baybayaxbyaxbbaxbayaxbxbxyaxbb（）假设弦AB存在，则Rx,所以上述方程有实根，从而△≥0，对其化简整理，得：）（）（）（）（1)(1214420220222222022022bayaxbbayaxb≤0解此不等式，即得：（1）当＞0时，（11）222ba≤b2x02+a2y02＜a2b2；（2）当=0时，b2x02+a2y02=a2b22（3）当＜0时（≠-1），22ba＜b2x02+a2y02≤（11）222ba②当0y=0时，这时P点为（x0，0）.由（**）得：x=02202)1(1xax）（又因222222bayaxb，即222222)(axabya，所以≥2x即2a≥2022204)]1()1[(xax，由此得（1）当＞0时，（11）22a≤x02＜a2（2）当=0时，x02=a2（3）当＜0时，2a＜x02≤（11）22a这个结论就是（Ⅰ）式中取00y的情形，故不管0y是否零，（Ⅰ）式总成立。（）反过来，若（Ⅰ）式成立，由于以上的推导过程可逆，因而以P（x0，y0）为分点，而以为定比的定比弦必存在。由于当x0=0时，y0=0时P为椭圆的中心，此时相应弦只能是中点弦，不能随的改变而改变，且中点弦亦不唯一，故P点不能为椭圆的中心。综上所述，可知定理一定成立。定理二抛物线y2=2px（p＞0）存在以（x0，y0）为分点，以为定比的定比弦的充要条件是：（1）≠0（≠-1）时，（0202pxy）＜0；（2）=0时，0202pxy（Ⅱ）证明：设A（x，y），则B（yyxx0011）（，）（），得pxy22])1[(2])1[(020xpyy（**）两式相减得到：xpxpyyy)1(2)1(2)1(2100202）（（**）①当y0≠0时，y=00202221ypxxpy）（3代入y2=2px，得0)1(44)1(]2)1[(44200202240202022yxpxpyxxpypxp（）设弦AB存在，则xR，∴方程有实根，∴△≥0，对此化简即得：（1）≠0（≠-1），（y02-2px0）＜0；（2）=0时，y02=2px0.②当y0=0时，这时P点为（x0，0）由（**）得x0=x，又因y2=2py，所以y2=2px0≥0，由此得，当≠0时，x0＞0，当=0时，x0=0.这个结论就是（Ⅱ）式中取y0=0时的情形，故不管y0是否为零，（Ⅱ）式总成立。反过来，若（Ⅱ）式成立，由于以上推导过程可逆，因而以P（x0，y0）为分点，则以为定比的定比弦必存在.定理三双曲线222222bayaxb存在以P（00,yx）（x02+y02≠0）为分点，以为定比的定比弦的充要条件是：（1）当＞0时，b2x02-a2y02≤（11）22ba或b2x02-a2y02＜a2b2（2）当=0时，b2x02-a2y02=a2b2（Ⅲ）（3）当＜0时，b2x02-a2y02≥（11）222ba或b2x02-a2y02＜a2b2.证明与前面类似.证明了定比弦的存在定理，中点弦的存在定理也就证明了，其相应定理只需将上述定理中改为1即可，于是我们有下述推论：推论一椭圆b2x02+a2y02=a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）为中点的中点弦的充要条件是：b2x02+a2y02＜a2b2.（Ⅳ）推论二抛物线y2=2px存在以P（x0，y0）为中点的中点弦的充要条件是：y02＜2px0（Ⅴ）推论三双曲线b2x2-a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）为中点的中点弦的充要条件是b2x02-a2y02＞a2b2，或b2x02-a2y02＜0（Ⅵ）推论四圆x2+y2=R2存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）为中点的中点弦的充要条件是：x02+y02＜R2（Ⅶ）下面举例定比弦存在定更换一些应用举例：例1若椭圆4x2+9y2=36存在以P（x0，y0）为分点，以-2为定比的定比弦，求P点的存在范围。解：由定理1知当＜0（≠-1）时，椭圆b2x2+a2y2=a2b2存在以P（x0，y0）为分点，为定比的定比弦的充要条件是22ba＜b2x02+a2y02≤（11）222ba，将a2=9，b2=4，=-2代入得36＜4x02+9y02≤324，故P点在存在范围是由椭圆4x2+9y2=36与4x2+9y2=324所夹的区域（含4x2+9y2=324）.例2P（x0，y0）在何区域内，双曲线x2-4y2=4不存在以P（x0，y0）为分点，以-2为定比的定比弦？解：由定理三知，当＜0（≠-1）时，双曲线222222bayaxb存在以P（00,yx）为分点，为定比的定比弦的充要条件是b2x02-a2y02≥（11）222ba或b2x02-a2y02＜a2b2，将a2=4,b2=1,=-2代入得x02-4y02≥36或x02-4y02＜4，从P点所在区域就是x02-4y02＜36且x02-4y02≥4，即双曲线x2-4y2=36与x2-4y2=4，4所夹的区域（含双曲线x2-4y2=4）例3过点P（1，2）作椭圆x2+4y2=4的弦AB，若P点分AB所成的线段比为，求的最大、最小值。解：∵P（1，2）为椭圆x2+4y2=4外的一点，∴P为外分点，从而＜0，于是由定理一，知该椭圆存在以P（1，2）为分点，为定比的定比弦的充要条件是4（11）2≥17，解此不等式，得：-1317421≤＜-1，-1＜≤-1317421∴的最大值为-1317421，的最小值为-1317421，例4过点A（1，1）的直线与双曲线1222yx交于P1、P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。解：设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则有121222222121yxyx，，两式相减，并化简得0221212121））（（））（（yyyyxxxx设P点坐标为x，则上式化为2x-yk=0，∴k=yx2，即为P1P2的斜率，∴直线L的方程为）（121xyxy。化简整理，即得02222yxyx。因为由推论3知，双曲线222222bayaxb存在以P（x0，y0）（x02+y02≠0）为中点的中点弦的充要条件是：b2x02+a2y02＜0，或b2x02+a2y02＞a2b2所以所求P点的轨迹方程是2x2-y2-2x+y=0222yx＜0，或222yx＞2