函数零点易错题、三角函数重难点(教师版)

成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246451函数零点易错题三角函数重难点教师版函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．1．因＂望文生义＂而致误例１．函数23)(2xxxf的零点是（）Ａ．0,1Ｂ．0,2Ｃ．0,1，0,2Ｄ．１，２错解：Ｃ错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使0xf成立的实数x，也是函数xfy的图象与x轴交点的横坐标．正解：由0232xxxf得，x＝１和２，所以选Ｄ．点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程0xf的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与x轴交点的横坐标．即使所求．2．因函数的图象不连续而致误例２．函数xxxf1的零点个数为（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３错解：因为2)1(f，21f，所以011ff，函数xfy有一个零点，选Ｂ．错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数xxxf1的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．正解：函数的定义域为,00,，当0x时，0xf，当0x时，0xf所以函数没有零点．也可由01xx得012x方程无实数解．点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246452借助于函数的单调性．若函数xfy在区间ba,上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即0bfaf,则在区间ba,内，函数xf至少有一个零点，即相应的方程0xf在区间ba,至少有一个实数解．然而对于函数的xf，若满足0bfaf，则xf在区间ba,内不一定有零点；反之，xf在区间ba,内有零点也不一定有0bfaf．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根．如下图所示：abxyOyxO-11k3．因函数值同号而致误例３．判定函数32xxf在区间1,1内是否有零点．错解：因为111ff，所以011ff，函数32xxf在区间1,1内没有零点．错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数xf在区间ba,上的函数图像是连续曲线，且0bfaf，也可能在ba,内有零点．如函数12xxg在区间1,1上有011gg，但在1,1内有零点21x．正解：当x1,1时，132xxf，函数xfy在1,1上的图象与x轴没有交点，即函数32xxf在区间1,1内没有零点．法二：由032x得23x1,1，故函数32xxf在区间1,1内没有零点．点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数2)1(xy有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246453要抓住两点：①函数xfy在区间ba,上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即0bfaf．4．因忽略区间端点而致误例４．已知二次函数mxmxxf2)1(2在1,0上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．错解：由函数的零点的性质得010ff，即022mm，解得02m．所以实数m的取值范围为0,2．错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在1,0上有二重根；②终点的函数值可能为０．正解：⑴当方程02)1(2mxmx在1,0上有两个相等实根时，0812mm且1210m，此时无解．⑵当方程02)1(2mxmx有两个不相等的实根时，①有且只有一根在1,0上时，有010ff，即022mm，解得02m②当00f时，m＝０，02xxxf，解得1,021xx，合题意．③当01f时，2m，方程可化为0432xx，解得4,121xx合题意．综上所述，实数m的取值范围为0,2．点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．本文已在《学苑新报》上发表方程的根与函数的零点1．函数2()41fxxx的零点为（）成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246454A、212B、612C、612D、不存在2．函数32()32fxxxx的零点个数为（）A、0B、1C、2D、33.函数()ln26fxxx的零点一定位于区间（）.A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)1.C2.D3.易知函数()fx在定义域(0,)内是增函数.∵(1)ln12640f，(2)ln246ln220f，(3)ln366ln30f.∴(2)(3)0ff，即函数()fx的零点在区间(2,3).所以选B.4.求证方程231xxx在(0,1)内必有一个实数根.4.证明：设函数2()31xxfxx.由函数的单调性定义，可以证出函数()fx在(1,)是减函数.而0(0)3210f，115(1)3022f，即(0)(1)0ff，说明函数()fx在区间(0,1)内有零点，且只有一个.所以方程231xxx在(0,1)内必有一个实数根.点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化.此题可变式为研究方程231xxx的实根个数.5.（1）若方程2210ax在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是.（2）已知函数()34fxmx，若在[2,0]上存在0x，使0()0fx，则实数m的取值范围是.5.解：（1）设函数2()21fxax，由题意可知，函数()fx在(0,1)内恰有一个零点.∴(0)(1)1(21)0ffa，解得12a.（2）∵在[2,0]上存在0x，使0()0fx，则(2)(0)0ff，∴(64)(4)0m，解得23m.所以，实数m的取值范围是2(,]3.6.已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246455实数m的取值范围．6.解：令2()223fxxmxm有图像特征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是解得3514m。7.已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.7.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.(1)若函数有两个零点，则a=0或a4.(2)若函数有三个零点，则a=4.(3)函数有四个零点,则0a4.8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图所示，求证:b0.8.证：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=3b,c=32b.所以f(x)=3bx(x2-3x+2)=3bx(x-1)(x-2).当x0时，f(x)0，所以b0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x2时,f(x)0,所以a0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b0.三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246456例1若x是三角形的最小内角，则函数sincossincosyxxxx的最大值是（）A．1B．2C．122D．122分析：三角形的最小内角是不大于3的，而2sincos12sincosxxxx，换元解决．解析：由03x，令sincos2sin(),4txxx而74412x，得12t．又212sincostxx，得21sincos2txx，得2211(1)122tytt，有2(2)11102222y．选择答案D．点评：涉及到sincosxx与sincosxx的问题时，通常用换元解决．解法二：1sincossincos2sinsin242yxxxxxx，当4x时，max122y，选D。例2．已知函数2()2sincos2cosfxaxxbx．，且(0)8,()126ff．（1）求实数a，b的值；（2）求函数)(xf的最大值及取得最大值时x的值．分析：待定系数求a，b；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数)(xf可化为()sin2cos2fxaxbxb．（1）由(0)8f，()126f可得(0)28fb，33()12622fab，所以4b，43a．（2）()43sin24cos248sin(2)46fxxxx，成都高校联盟家教中心地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246457故当2262xk即()6xkkZ时，函数fx取得最大值为12．点评：结论22sincossinabab是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos23yx的图象，只需将函数sin2yx的图象A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决．解析：函数π55cos2sin2sin2sin2332612yxxxx，故要将函数sin2yx的图象向左平移5π12个长度单位，选择答