用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型浙江曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()Pxy，及斜率，其求法为：设00()Pxy，是曲线()yfx上的一点，则以P的切点的切线方程为：000()()yyfxxx．若曲线()yfx在点00(())Pxfx，的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0xx．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()fx，并代入点斜式方程即可．例1曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程为（）Ａ．34yxＢ．32yxＣ．43yxＤ．45yx解：由2()36fxxx则在点(11)，处斜率(1)3kf，故所求的切线方程为(1)3(1)yx，即32yx，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2与直线240xy的平行的抛物线2yx的切线方程是（）Ａ．230xyＢ．230xyＣ．210xyＤ．210xy解：设00()Pxy，为切点，则切点的斜率为0022xxyx|．01x∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)yx，即210xy，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为2yxb，代入2yx，得220xxb，又因为0，得1b，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32yxx上的点(11)，的切线方程．解：设想00()Pxy，为切点，则切线的斜率为02032xxyx|．∴切线方程为2000(32)()yyxxx．320000(2)(32)()yxxxxx．又知切线过点(11)，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)xxxx．解得01x，或012x．故所求切线方程为(12)(32)(1)yx，或13112842yx，即20xy，或5410xy．评注：可以发现直线5410xy并不以(11)，为切点，实际上是经过了点(11)，且以1728，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4求过点(20)，且与曲线1yx相切的直线方程．解：设00()Pxy，为切点，则切线的斜率为0201xxyx|．∴切线方程为00201()yyxxx，即020011()yxxxx．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)xxx．解得000111xyx，，即20xy．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5已知函数33yxx，过点(016)A，作曲线()yfx的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33yxx，点(016)A，不在曲线上．设切点为00()Mxy，，则点M的坐标满足30003yxx．因200()3(1)fxx，故切线的方程为20003(1)()yyxxx．点(016)A，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)xxxx．化简得308x，解得02x．所以，切点为(22)M，，切线方程为9160xy．评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线0y与抛物线2xy只有一个交点，0y是2xy的切线，但0x与抛物线2xy也只有一个交点，但0x却不是2xy的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。切线的定义：设0m是曲线)(xfy上一定点，m是该曲线上的一动点，从而有割线mm0，令m沿着曲线无限趋近于0m，则割线mm0的极限位置就是曲线)(xfy在0m的切线（如果极限存在的话）。这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明0y是2xy的切线，而0x不是2xy的切线，这一切线定义可用于任何曲线)(xfy。导数的几何意义就是曲线)(xfy在点x的切线斜率。故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。例6求曲线nxy1在2x时的切线方程。解：xy1当2x时，21y又当2x时，21ny当2x时，所求的切线方程为：即022122nyx反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线)(xfy的切线定义都难得给出，更别说讨论与)(xfy的切线有关的问题了。例7已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值，过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程。解：由例4，曲线方程为xxxf3)(3，点)16,0(A不在曲线上。设切点为),,(00yxM则点M的坐标满足03003xxy，由于)1(3)(200xxf，故切线的方程为))(1(30200xxxyy.注意到点)16,0(A在切线上,有)0)(1(3)3(16020030xxxx化简得820x,解得20x.因此,切点为)2,2(M,切线方程为0169yx.02200222222000xx220002202020yxP(x,y)1Pbabbxya+xyaaa+xbxP(x,y)yaa+xbxyyxxaa+xbxxxay＝00例10：设是双曲线－＝上一点，求过点的切线方程。解；考虑上半支双曲线的方程为＝，＝则处的切线斜率为＝切线方程为－＝（－）＝（－）即0022yyxx1baP－＝当在下半支时，也可得到同样的方程。要点：1.导数是如何定义2.如何求曲线)(xfy在点),(ooyx处的切线方程与法线方程。第三章导数与微分§3.1导数的概念由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。其中求曲边梯形面积的研究导致了积分学的产生，而求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点的切线，求函数的极大值和极小值等问题的研究导致了微分学的产生。历史上，Newton从瞬时速度出发，Leibniz从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明确给出计算导数的步骤，而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的完整理论。一.导数的概念1.平均变化率设在点ax处自变量改变)0(xx，函数xfy相应地改变afxafy,则平均变化率是xyxafxaf.图3.1不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率(0x如何)2.瞬时变化率当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而确定，此时平均变化率ts表示时刻从0t到tt0这一段时间内的平均速度v，若设路程s是时间t的函数)(tfs，则ttfttftsv00，当t很小时，可以用v近似地表示物体在时刻0t的速度，t愈小，近似的程度就愈好。当0t时，如果极限ttfttftsott000limlim存在，则称此极限为物体在时刻0t的瞬时速度，即ttfttftsvotottt00limlim|0.例1.已知自由落体的运动方程为221gts.求（1）：落体从0t到tt0这段时间内的平均速度v.（2）：落体在0tt时的瞬时速度。解（1）221gts，,21200gtts200)(21ttgtts.20)(21tgtgts.平均速度tggttsv210.（2）：落体在0tt时的瞬时速度。瞬时速度000021limlim|0gttggttsvtttt.3.切线的斜率设有一连续函数xfy，则平均变化率xy是指曲线xfy上的两点的割线的斜率。即割线PQ的斜率是xafxafxy)(.当0x时,显然,割线PQ越来越趋于曲线xfy在点afaP,处的切线PT.即切线PT是割线PQ的极限位置，平均变化率的极限值（如果存在）xyx0lim则是曲线xfy在点afaP,的切线PT的斜率。图3.2例2．求曲线3xy在点1,1P处的切线斜率和切线方程.解：先计算从点1,1P到邻近任意点))1(,1(xfxQ的平均变化率xxxfxfxy3311112323333xxxxxx.故曲线3xy在点1,1P处的切线斜率m应为xymx0lim0limx[233xx]=3.而过点1,1P的切线方程为131xy.即23xy.思考题如果上题中改为求过点)2,0(P的切线，此时要验证点是否在曲线上。然后求出切点（),00yx，再用点斜式求出切线方程，此时个能有左、右两条切线。对一般曲线xfy，既使点),(baP在曲线上，如果求在点P处的切线，则切线可能有1条、2条、3条。由上面的例题可以看出，平均变化率的极限可以给出不同的解释。一个是作为变速直线运动在某一时刻的瞬时速度，一个是看作曲线上某一点的切线的斜率。其实这个量xyx0lim或axafxfaxlim（其中xax）在各个不同领域中可以有许多不同的解释。数学上给它一个特殊的名称，叫做函数xfy在点ax处的导数。4.导数的定义定义设函数xfy在点0x的某个邻域内有定义，当自变量在点0x处取得改变量x(0)时，函数xfy取得相应的改变量00xfxxfy.如果当0x时，改变量的比xy的极限存在，即存在，则称此极限值为函数xfy在点0x处的导数（或叫微商）。记作0xf,00,xxxxdxdyy或0xxxfdxdxy是x从0x到xx0的平均变化率，而0xfxyx0lim则称函数在点0x处的变化率。可见导数是函数在一点处的局部性质。如果)(xf在点0x处有导数，则称)(xf在点0x处可导，否则称)(xf在点处不可导。如果)(xf在某区间),(ba内每一点都可导，则称)(xf在),(ba内可导.设xf在),(ba内可导，则对于区间),(ba内每一点x都对应一个导数值，因此就定义了),(ba内的一个新函数，称为导函数，简称为导数，记作xf,y,dxdy,xfdxd利用导数的符号，瞬时速度就是路程s对时间t的导数，即dtdsv.而曲线xfy在点x处的切线斜率应为xf.而过点（),00yx的切线方程应为)()(000xxxfyy.当xyx0lim是或（此时极限不存在，故导数不存在）在几何上则表示曲线在点0x处有一条垂直的切线。（所以“曲线函数在此点的导数不存在,则曲线在此点就没有切线”的说法是错误的）。例3．求线性函数bxay的导数。解求导数的步骤是：（1）计算函数的相应的改变量y=xfxxf=xabaxbxxa.（2）计算改变量的比值x