高等传热学课件对流换热-第1章-4

§1-4对流换热基本控制方程一、连续方程连续方程是流动中微元控制体质量守恒关系的数学描述。由质量守恒原理，流动过程中任一确定质量系统（封闭系统、无核反应）的质量不变。即：0DdVDρτΩ=∫∫∫（对有限系统）、=0DDρτ（对流体微团）对流体微团，由雷诺输运定理微分形式：(,)(,)=+div(,)iiiDxxxvDφτφτφτττ∂⎡⎤⎣⎦∂或()=+iivDDxφφφττ∂∂∂∂注意上述雷诺输运定理微分形式与下式的区别：iidbbbvdxττ∂∂=+∂∂（适用质点或不可压微团）(1.2.2)由质量守恒原理与雷诺输运定理微团形式，得到如下流体运动过程中，微元控制体的质量守恒关系—连续方程：()0divρρυτ∂+=∂（1.4.1）或()0iixρυρτ∂∂+=∂∂（1.4.2）将第二项展开：0iiiixxρρυυρτ∂∂∂++=∂∂∂⇒0iiddxρυρτ∂+=∂（1.4.3）对稳态（定常）流动：0ρτ∂=∂，连续方程形式变为()0iixρυ∂=∂或()0divρυ=（1.4.4）即：稳态（定常）流动的质量流量散度为零。对不可压缩流动，流体的密度不变，即0ddρτ=；有0iixυ∂=∂或0divυ=（1.4.5）即：不可压缩流动的速度散度为零。二．动量方程动量方程是流动中微元控制体动量守恒关系（牛顿第二定律）的数学描述。对τ时刻占据()τΩ空间的流体微团，其动量为：()idVτρυΩ∫∫∫（a）由动量守恒原理，某系统的动量变化率等于其所受外力的和，即：()iiDdVFDτρυτΩ=∑∫∫∫（b）由雷诺输运定理：()()()()()ijiijDdVdVdVDxτττρυυρυρυττΩΩΩ∂∂=+∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫（c）所受外力之和为：()iijijAFBdVndAττΩ=+∑∫∫∫∫∫（d）式中，iB是作用在单位体积流体上的体积力，jiτ是作用在系统界面单位面积上的表面应力。jijAndAτ∫∫是系统受到的总表面应力（通量），由奥高定理：()jijijjAndAdVxτττΩ∂=∂∫∫∫∫∫（e）因此，该质量系统的动量守恒关系可表示为：()()()()()()ijjiiijjdVdVBdVdVxxττττρυυτρυτΩΩΩΩ∂∂∂+=+∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫（f）A()τΩiρυiBVjnjiτ对流体微团，显然有：()()ijjiiijjBxxρυυτρυτ∂∂∂+=+∂∂∂（1.4.6）上式为应力形式的动量守恒方程。考虑到流动满足连续方程，上式等号左边展开、改写为：(())()jiiijjiiijjjxxxρυρυυρυυρυυυρρυτττ∂∂∂∂+=+∂∂++∂∂∂∂∂∂=[]iijjxυυρυτ∂∂+∂∂于是，动量守恒方程可进一步表示为：[]jiiijijjBxxτυυρυτ∂∂∂+=+∂∂∂（1.4.7）上面动量方程的前提假设：连续介质流体流体微团的表面应力与流体速度存在确定关系，这个关系与流体的本身性质有关，不同流体的应力与应变关系不同，即本构关系不同，工程上常见的牛顿流体的应力与应变存在简单的线性关系。对各向同性牛顿流体：'()jikjijijijikpxxxυυυτδµµδ∂∂∂=−++−∂∂∂（1.4.8）其中，µ为第一粘性系数（通常称为粘性系数），'µ为第二粘性系数。Stokes假设：2'3µµ=；于是有2()3jikjijijijikpxxxυυυτδµµδ∂∂∂=−++−∂∂∂（1.4.9）表面应力的直角坐标形式为：22()322()322()3()()()xxyyzzxyyxxzzxyzzyuuvwpxxyzvuvwpyxyzwuvwpzxyzvuxywuxzwvyzτµµτµµτµµτµττµττµτ∂∂∂∂⎧=−+−++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=−+−++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=−+−++⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂⎪=+=⎪∂∂⎪∂∂⎪=+=⎪∂∂⎪∂∂⎪=+=∂∂⎪⎩（1.4.10）于是，动量方程中的表面应力项为：()2[()][]3jijijikjijjjjijkpxxxxxxxτδυυυµδµ∂∂∂∂∂∂∂=−++−∂∂∂∂∂∂∂2[()][]3jikijjiikpxxxxxxυυυµµ∂∂∂∂∂∂=−++−∂∂∂∂∂∂符合Stokes假设的各向同性牛顿流体动量方程为：2[][()]()3jjiiijijijjiijpBxxxxxxxυυυυυρυµµτ∂∂∂∂∂∂∂∂+=−++−∂∂∂∂∂∂∂∂（1.4.11）上式即为Navier-Stokes方程（N-S方程）。适用范围：各向同性牛顿流体、符合Stokes假设。若,constµ=（ρ不必等于常数），N-S方程简化为：221()[()]3jiiijijiijjpBxxxxxυυυυρυµτ∂∂∂∂∂∂+=−++∂∂∂∂∂∂（1.4.12）对不可压缩流体，0jjxυ∂=∂，N-S方程可进一步简化为：22()iiijijijpBxxxυυυρυµτ∂∂∂∂+=−+∂∂∂∂（1.4.13）各项物理意义：从左往右：非稳态项、对流项、体积力项、压力项、粘性力项。这就是我们常见的N-S方程形式—不可压缩、牛顿流体，定粘度、三维非稳态流动的动量方程。不可压缩、牛顿流体，定粘度、三维非稳态流动的动量方程直角坐标形式为：222222222222222222[]()[]([())]xyzuuuupuuuuvwBxyvvvvpvvvuvwBxyzyxyzρµτρµµττρ⎧∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−+++⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−+++∂∂∂∂∂∂∂∂+++=−+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎨∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎩（1.4.14）三、能量方程能量方程是流动中微元控制体能量守恒关系（热力学第一定律）的数学描述。（1）能量守恒关系：设单位质量流体的能量为E，212jEUυ=+（a）则体积为V、τ时间占据()τΩ空间的某流体质量系统的能量为：()EdVτρΩ⋅∫∫∫（b）由能量守恒原理，某流体质量系统的能量变化率等于其在单位时间内获得的能量：v()innetDEdVQWQDτρτΩ=++∫∫∫（c）其中，inQ是周围流体传入流体系统的热量；netW是周围流体对流体系统所做的净功；vQ是流体系统内部热源的发热功率。（2）守恒关系式中各项物理量的关系描述a）周围流体传入热量injjAQqndA=−∫∫（d）jq是系统界面的热流密度矢量（向外），对一个确定的质量系统，周围流体向其传热的方式有两种（D、R），即：jjRjRjjTqqqqxλλ∂=+=−+∂（e）于是：][[]inRjjRjjjAjATqndAQqndAxxTλλ∂=−−+=∂∂−∂∫∫∫∫()()inRjjjTQqdVxxτλΩ∂∂=−∂∂∫∫∫（f）b）体积力、表面应力做功（率）()()()()jiiinetjijijiiiAdVBdVxWndABdVτττττυυυυΩΩΩ∂=+=+∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫（g）c）内热源产热量（率）()vQQdVτΩ=∫∫∫i（h）d）系统的能量增加率()()()jjADEEdVdVEndADττρρρυττΩΩ∂=+∂∫∫∫∫∫∫∫∫()()()()jjEEdVdVxττρυρτΩΩ∂∂=+∂∂∫∫∫∫∫∫（i）（3）能量守恒关系式变形将上述各项的表达式代入(c)式的能量守恒关系，得到：()()()()()()jRjjjjEETdVdVqdVxxxτττρυρλτΩΩΩ∂∂∂∂+=−∂∂∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫()()()()jiijjjBdVdVQdVxττττυυΩΩΩ∂+++∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫i（j）对流体微团和微元控制体，能量守恒关系可改写为微分形式：()()()()jjiiRjjjjjjjEETqBQxxxxρυτυρλυτ∂∂∂∂∂+=−+++∂∂∂∂∂i（1.4.15）将左边的能量变化率展开，并利用连续方程，得到：()()jjjjEEEExxρυρρυττ⎡⎤∂∂∂∂+=+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦(k)再将212iEUυ=+代入上式，可进一步得到：()()jiijijjjjEEUUxxxρυρυυρυρυυτττ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂+=+++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(l)应用应力形式动量方程：[]jiiijijjBxxτυυρυτ∂∂∂+=+∂∂∂，上式变为：()()jjjjjijiiiEEUxBxUxρυρρυυυτττ⎡⎤∂∂∂∂+=++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎢⎣∂⎥⎦(m)将(m)式的关系代入（1.4.15）式，可得到内能形式的能量守恒关系—能量守恒方程：()ijRjjijjjjUUTqQxxxxυρυλττ⎡⎤∂∂∂∂∂+=−++⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦i（1.4.16）该能量方程前提条件：连续介质流体、导热遵从Fourier定律。()ijcjRjjijjjUUqqQxxxυρυττ⎡⎤∂∂∂∂+=−+++⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦i（1.4.17）该形式的能量方程前提条件：连续介质流体。对符合Stokes假设的各向同性牛顿流体：2()3jikjijijijikpxxxυυυτδµµδ∂∂∂=−++−∂∂∂22()()3jjiiikjijjjjikpxxxxxxυυυυυυτµµ∂∂∂∂∂∂=−++−∂∂∂∂∂∂上式是表面应力对流体微团的做功项，包含两部分：压力功、粘性应力功。后者为粘性耗散效应。将引起粘性耗散效应的流体应变关系定义为耗散函数Ф：22()()3jjiijjijxxxxυυυυ∂∂∂∂Φ=+−∂∂∂∂（1.4.18）粘性耗散效应是粘性应力作功将动能转化为热能的现象。于是，符合Stokes假设的各向同性牛顿流体对流换热的能量方程可表示为—内能形式的能量方程：()jcrjjjjjjvUUqqpQxxxρυµτ⎡⎤∂∂∂∂+=−+−+Φ+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦i（1.4.19）符合Stokes假设、导热遵从Fourier定律的各向同性牛顿流体对流换热—内能形式的能量方程：()jrjjjjjjvUUTqpQxxxxρυλµτ⎡⎤∂∂∂∂∂+=−−+Φ+⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦i（1.4.20）()div()divrjUvUTqpvQρλµτ∂⎡⎤+⋅∇=∇−−+Φ+⎢⎥∂⎣⎦i(1.4.21）各项物理意义：等号左边：（当地变化、对流变化）＝微团内能变化等号右边：导热、辐射、压缩功、粘性耗散、内热源。（4）焓与温度形式的能量方程由焓定义，单位质量流体的焓H为：/HUpVUpρ=+=+(a)则流体微团的焓变化率与内能变化率之间的关系为：21dHdUdppdddddρττρττρ=+−(b)由连续方程0jjvddxρρτ∂+=∂，进一步有：1jjvdUdHdppdddxττρτρ∂=−−∂(1.4.22）将上式代入内能形式的能量方程，整理得到对流换热的焓形式能量方程：()rjjjjjHHTdpqQxxxdρυλµττ⎡⎤∂∂∂∂+=−++Φ+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦i（1.4.23）进一步，根据焓与温度的关系，导出以温度形式的能量方程。由(,)fTPΗ=得：()()pTdHHdTHdpdTdpdτττ∂∂=⋅+⋅∂∂而：()ppHCT∂=∂为定压比热。再由热力学关系式：[()]ppVdHcdTVTdpT∂=+−∂、()1111()()[]pTpVHVTTVTVTTpTVββρρρρ∂∂∂−∂=−=−=−=∂∂这里，()pVTVβ∂∂=为流体的容积膨胀系数。有：1pdHdTTdpcdddβττρτ−=+⋅（1.4.24）将上式代入焓形式的能量方程，整理得到对流换热的温度形式能量方程：()rpjjjjjTTTdpcvqTQxxxdρλβµττ⎡⎤∂∂∂∂+=−++Φ+⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦i（1.4.25）上述三种形式的能量方程，若不考虑耗散函数Φ、导热热流密度的的具体形式，则适用于任何连续流体。对于一些情况，上面的能量方程可进一步简化。a).理想气体对理想气体，容积膨胀系数1/Tβ=，有：()rpjjjjjTTTdpcvqQxxxdρλµττ⎡⎤∂∂∂∂+=−++Φ+⎢⎥∂